第5课时空间向量及其运算考纲索引1.空间向量的加减、数乘、数量积运算.2.空间向量的有关有关定理.3.空间向量的坐标运算.课标要求1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.知识梳理1.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得.其中,{a,b,c}叫做空间的一个.推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的一个有序实数组{x,y,z},使.2.两个向量的数量积(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则叫做向量a,b的夹角,记作
.通常规定≤≤.若=,则称向量a,b互相垂直,记作a⊥b.(2)两向量的数量积:两个非零向量a,b的数量积a·b=.(3)向量的数量积的性质(e是单位向量):①a·e=|a|;②a⊥b⇔a·b=;③|a|2=a·a=;④|a·b||a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律:①(λa)·b=λ(a·b);②a·b=(交换律);1③a·(b+c)=(分配律).3.空间向量的坐标运算基础自测1.下列命题:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是().A.0B.1C.2D.32.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值为().3.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是().4.已知四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为.5.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b的夹角的余弦值为.2指点迷津【想一想】两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同吗?【答案】不相同.两向量夹角的范围是[0,π],两异面直线所成角的范围是.考点透析考向一空间向量的线性运算【方法总结】空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的,要用类比的思想去掌握.在空间向量的加、减、数乘等线性运算中,要选择适当的向量为基底,用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算,同时还要以相应的图形为指导.变式训练3考向二空间向量的坐标运算例2已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c.求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.【方法总结】空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约,可以将空间元素的位置关系转化成数量关系,将逻辑推理转化成数量计算,可以化繁为简,因此是处理空间问题的一种重要工具和方法.变式训练考向三共线、共面向量定理的应用4例3已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)求证:BD∥平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有.【方法总结】在求一个向量由其他几个向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近,进行求解.若要证明两直线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性关系a=λb(λ≠0),即可判定两直线平行.变式训练经典考题5典例(2014·南京一模)P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为.【解题指南】利用向量的数量积为0,求得二面角为90°.【解】不妨设PM=a,PN=b,如图,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,真题体验1.(2014·全国新课标Ⅱ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为().2.(2014·广东)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是().A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)3.(2014·北京)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),6.若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S17参考答案与解析知识梳理基础自测1.A2.D3.A4.(5,13,-3)考点透析89变式训练1011经典考题真题体验12
