河北省清河县高三数学《39直接证明与间接证明》课时作业VIP专享VIP免费

河北省清河县高三数学《39直接证明与间接证明》课时作业一、选择题(每小题5分，共30分)1．若x，y∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．log2(1＋2x2)>0B．x2＋y2≥2(x－y－1)C．x2＋3xy≥2y2D.<解析：∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，故A不正确；x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，故B正确；令x＝0，y＝1，则x2＋3xy<2y2，故C不正确；令x＝3，y＝2，则>，故D不正确．答案：B2．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是()A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b解析：∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，∴若比较a，b，c的大小，只要比较＋，＋，＋的大小．∵＋>＋>＋>0，∴<<，∴c1,02－3.∴R2，b>2，则()A．ab>a＋bB．ab1解析：⇒ab>2(a＋b)－4>a＋b.答案：A5．(2010·揭阳模拟)设a，b，u都是正实数，且a，b满足＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的范围是()A．(0,16]B．(0,12]C．(0,10]D．(0,8]解析：∵＋＝1，用心爱心专心1∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝1＋×9＋＋9≥10＋2·＝16.当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号．若a＋b≥u恒成立，∴01，则x与lnx的大小关系是________．解析：令f(x)＝x－lnx，则f′(x)＝1－＝.∵x>1，∴>0，∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)>f(1)＝1>0，即x－lnx>0，∴x>lnx.答案：x>lnx8．lg9·lg11与1的大小关系是__________．解析：lg9·lg11<()2＝()2<()2＝1.答案：lg9·lg11<19．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f()＝f()，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.答案：三、解答题(共55分)10．(15分)已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a、b、c成等比数列．求证：a2＋b2＋c2>(a－b＋c)2.证明：左边－右边＝2(ab＋bc－ac)．∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.∵a、b、c∈(0，＋∞)，∴0b.∴2(ab＋bc－ac)＝2(ab＋bc－b2)＝2b(a＋c－b)>0.∴a2＋b2＋c2>(a－b＋用心爱心专心2c)2.11．(20分)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．解：(1)x是正实数，由基本不等式知x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，此时不等式仍然成立．——探究提升——12．(20分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.(1)证明：是f(x)＝0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：－20，由00，知f()>0与f()＝0矛盾，∴>c.(3)由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a>0，c>0，∴b<－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－＝<＝x2＝，即－<.又a>0，∴b>－2，∴－2