课下层级训练(五十一)定点、定值与探索性问题[A级基础强化训练]1．(2019·山东日照月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【答案】(1)解由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4．所以C的方程为＋＝1．(2)证明设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝．于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－．所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．2．(2019·河南开封预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．【答案】(1)解由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2．∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y．(2)证明由题知，直线l的斜率存在，∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，联立得x2－4kx＋8＝0，∴kAC＝＝＝，则直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋．∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，故直线AC恒过定点(0,2)．3．(2018·山东枣庄期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线y＝k1x与直线y＝k2x为圆E的两条切线．(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问：k1·k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】解(1)由2b＝2得b＝，∵e＝＝，∴＝，∵a2＝b2＋c2，∴＝，解得a2＝20，b2＝5，∴椭圆C的标准方程为＋＝1．(2)设E(x0，y0)，∵直线y＝k1x与圆E：(x－x0)2＋(y－y0)2＝4相切，∴＝2，整理得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0，同理可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4＝0，∴k1，k2为方程(x－4)x2－2x0y0x＋y－4＝0的两个根，∴k1k2＝．又∵E(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，∴y＝5，∴k1k2＝＝＝－，故k1k2的定值为－．[B级能力提升训练]4．(2019·安徽马鞍山模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(1，)，离心率为，过原点O作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于A，C，直线l2交椭圆于B，D，且|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝24．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：|k1·k2|为定值．【答案】(1)解由题意知，＋＝1且＝，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆的方程为＋＝1．(2)证明由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，－y1)，D(－x2，－y2)，由＋＝1，得y2＝4－2x2，|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝2(|AB|2＋|DA|2)＝2[(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝4(x＋x＋y＋y)＝4(x＋x＋4－2x＋4－2x)＝4×(8－x－x)＝24，所以x＋x＝2，|k1·k2|＝＝＝＝＝2，故|k1·k2|为定值2．5．(2018·湖南张家界三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆过点.过点(1,0)做两条相互垂直的直线l1、l2分别与椭圆C交于P、Q、M、N四点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若MS＝SN，PT＝TQ，探究：直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】解(1)由题意知，解得故椭圆的方程为＋＝1．(2)∵MS＝SN，PT＝TQ，∴S、T分别为MN、PQ的中点．当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，则直线l2的方程为y＝－(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0，∴Δ＝24k2＋16＞0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴PQ中点T的坐标为；同理，MN中点S的坐标为，∴kST＝，∴直线ST的方程为y＋＝，即y＝，∴直线ST过定点；当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST的方程为y＝0，也过点；综上所述，直线ST过定点．
