一道课本例题的探究红安县大赵家高中曾玄永438400著名数学家G·波利亚说：“一个专心的认真备课的老师能够拿一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘问题的各方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”而课本中许多例题是我们解决一些疑难问题的“原型”，是学生智能的生长点，也是考试题目的重要来源地，因此，平时教学中，我们不能就题论题，而应该引导学生对它进行深入研究，将它们的潜在功能发掘出来，这样就可以培养学生举一反三，触类旁通解题能力。本文以一道课本上的例题为例，激发学生研究课本例题的热情、兴趣。如图，OA,OB不共线，AP=tAB(tR)用OA,OB表示OP（人教版第117页例5）。解：OP=(1-t)OA+OB（过程略）1、对例题结论结构的分析。(图1)①(1-t)+t=1②当P在直线AB上时，t,(1-t)与OA，OB交叉相乘。2、例题的延伸拓展。性质1若A、B、P三点共线，则OP=λOA+uOB其中λ+u=1证明：设AP=tAB，则AO+OP=t（AO+OB）∴OP=（1-t）OA+tOB,令1-t=λ,t=u则λ+u=1故OP=λOA+uOB,λ+u=1成立性质2如图，若OP=λOA+uOB,，则λ+u=1，则A、B、P三点共线。证明： λ+u=1∴OP=λOA+uOB用心爱心专心115号编辑BPAO图2PBAO=λOA+（1-λ）OB∴OP-OB=λ（AO-OB）∴BP=λBA BP、BA共点，∴A、B、P三点共线。综合性质1及性质2可知：若A、B是互异两点，则点P与点A、B共线的充要条件是：存在实数λ、u，使得OP=λOA+uOB且λ+u=1性质3已知三点A、B、C，如果它们对应的向量分别是a,b,c，那么这三点位于同一条直线上的充要条件是存在三个不全为零的实数α、β、γ，使得αa+βb+γc=0,且α+β+γ=0（*）证明：（必要性，）如图若A、B、C三点在同一条直线上，且有αAC=βCB，由于c=a+ACαc=b+BC=b-CB由1、2可知，(α+β)c=αa+βb即C=令γ=-（α+β）则有αa+βb+γc=0,且α+β+γ=0（充分性）由（*）式得C=-=AC=c-a=-a=(b-a)因为AB=b-a,所以AC=AB即AC与AB平行且存在公共点A，所以A、B、C三点在同一条直线上。性质4线段定比分点的向量表示式。如图，设、P2、P三点共线，且P1P=λPP2，O为任意一点，则有OP=OP1+OP2(λ≠-1)证明：由图可知P1P=OP-OP1PP2=OP2-OPP1P=λPP2用心爱心专心115号编辑βα+βPβα+β11+λλ1+λCAO图3BabcP2P1yxoαa+βbα+βαa+βbα+βαa+βbγαa+βbα+β以(OP-OP1)=(OP2+OP)即OP=OP1+OP2，此即是定比分点的向量表示式。当λ=1时，即点P为线段P1，P2中点的坐标公式OP=(OP1+OP2)性质5几何意义（1）点C在相异两点A、B所在直线上滑动，则任何时候OC都可表示λa+ub的形式（λ+u=1），当C与A重合时，λ=1,u=0，当C与B重合时，λ=0,u=1，当C与A、B相异时，λ、u都不为零。（2）若存在c使得c=λa+ub，则向量c的终点必在终点A、B所确定的直线上，而且当λ和u取遍了所有满足λ+u=1的实数时，点C就滑遍了由A、B两点所确定的直线上的所有点。3、运用结论解题例1如图，在三角形ABC中，BD=DC,AE=3EC,AD与BE相交于F点，求AF：FD解：设AF=λAD， BD=DC∴AD=AB+AC∴AF=λAD=λAB+λAC又 AE=3EC，∴AC=AE，∴AF=λAB+(λAE)=λAB+λAE，由B、F、E三点共线，得λ+λ=1，∴λ=∴AF：FD=6：1例2：（02年天津高考）平面直角坐标系中。O为坐标原点，已知两用心爱心专心115号编辑11+λλ1+λ图4图5DBECFA点A（3，1）、B（－1，3），共点C满足OC=αOA+βOBα+β=1则点C的轨迹方程为（）A、3x+2y－11=0B、（x－1）2+（y－2）2=5C、2x－y=0D、x+2y－5=0解法一：设OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3)则αOA=α（3，1）=（3α，α）βOB=β（-1，3）=（-β，3β）又αOA+βOB=（3α-β，α+3β）∴(x,y)=（3α-β，α+3β）x=3α-βy=α+3β又α+β=1∴x+2y－5=0选D解法二：依据性质5可知，点C在以A、B两点所确定的直线上即lAB：x+2y－5=0为点C轨迹方程。选D。例3：求证三角形ABC三条中线AD、BE、CF相交于一点G，且证明：如图，在平面内任取一点O，OA=a,OB=b,OC=c,再令G1为AD上一点，且使AG1=2G1D，则有OG1=OA+OD=a+b, D为BC中点，∴OD=（b+c）∴OG1=a+·(b+c)=(a+b+c)同样，若令BG2=G2E,CG3=G3F,则可证得OG2=(a+b+c)OG3=(a+b+c)所以可知OG1=G2G=OG3∴G1、G2、G3重...
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