概率与统计解答题1、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。（Ⅰ）解：设A表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2；B表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2依题意有P(A)=2××=,P(A)=×=,P(B)=×=,P(B)=2××=,所求的概率为p=P(BA)＋P(BA)＋P(BA)=×＋×＋×=…………6分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，且~B(3,),∴P(=0)=()3=,P(=1)=C××()2=,P(=2)=C×()2×=,P(=3)=()3=∴的分布列为`0123p数学期望E=3×=……………12分2、设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程20xbxc实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20xbxc有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20xbxc有实根的概率．.解:（I）基本事件总数为6636，若使方程有实根，则240bc，即2bc。当1c时，2,3,4,5,6b；当2c时，3,4,5,6b；当3c时，4,5,6b；当4c时，4,5,6b；当5c时，5,6b；当6c时，5,6b,目标事件个数为54332219,因此方程20xbxc有实根的概率为19.36(II)由题意知，0,1,2，则17(0)36P，21(1),3618P17(2)36P，1故的分布列为012P17361181736的数学期望171170121.361836E(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程20axbxc有实根”为事件N，则11()36PM，7()36PMN，()7()()11PMNPNMPM.3、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为(,)Pnm．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）（Ⅰ）求(2,1),(3,2)PP的值，并猜想(,)Pnm的表达式．（不必证明）（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为，其中4,133,46mmmm，试求的分布列及数学期望．解：（1）0101111(2,1)222PC，…………2分1112111(3,2)222PC…………4分111(,)2mnnCPnm…………6分2第1层第2层第3层第4层入口（2）01555515(6,1)(6,6),(6,2)(6,5),232232CCPPPP25510(6,3)(6,4)232CPP321P23210322032…………9分2316E…………12分4、2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是。（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望。解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x个，1≤x<6，那么P（A）=，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华大学志愿者4人；-----------------------3分（2）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件E，那么P（E）==，所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是；-------6分（3）ξ的所有可能值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=815，P（ξ=2）==，-----8分所以ξ的分布列为3------------------------11分2812012515153E...
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