理科数学重点临界辅导材料（3）一、选择题1．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为()A．4B．±4C．－4或－D.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()A.B.C.D.3．直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)与圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交点个数为()A．1B．2C．0或2D．1或24.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．96．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.B.C.D.二、填空题7．已知集合A＝{x|<2x<8，x∈R}，B＝{x|－10)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．三、解答题11．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当AB＝pm，AC＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．12．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．(1)设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n项和Sn.参考答案1．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为()A．4B．±4C．－4或－D.答案C解析依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝，得＝，即a2＋16a＋16＝0，解得a＝－4或－，故选C.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()A.B.C.D.答案A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.3．直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)与圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交点个数为()A．1B．2C．0或2D．1或2答案B解析将含参直线方程分离变量可得m(3x－2y＋8)＋x＋3y－12＝0，不论m取何值，直线恒过两直线的交点A(0,4)，又易知定点A在圆内，故直线必与圆恒相交，故选B.4.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)答案C解析由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0. x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C.5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9答案D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b， f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.6．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.B.C.D.答案D解析设|AF1|＝m，|AF2|＝n，则有m＋n＝4，m2＋n2＝12，因此12＋2mn＝16，所以mn＝2，而(m－n)2＝(2a)2＝(m＋n)2－4mn＝16－8＝8，因此双曲线的a＝，c＝，则有e＝＝.7．已知集合A＝{x|<2x<8，x∈R}，B＝{x|－1
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