第四节二项式定理及其应用题号12345678答案1．(2013·江西卷)展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40解析：Tr＋1＝C(x2)5－r＝(－2)rCx10－5r，令10－5r＝0得r＝2.所以有常数项为T3＝C(－2)2＝40.答案：C2．在的二项展开式中，x的系数为()A．10B．－10C．40D．－40解析：因为Tk＋1＝C(2x2)5－k＝(－1)kC25－kx10－3k，令10－3k＝1，即k＝3，此时x的系数为(－1)3C22＝－40.故选D.答案：D3．(2013·北海质检)设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．0B．1C．6D．15解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.答案：B4．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10解析：由展开式通项有Tr＋1＝C·＝C·3n－r··x2n－5r.由题意得2n－5r＝0⇒n＝r，故当r＝2时，正整数n的最小值为5.故选B.答案：B5．令an为(1＋x)n＋1的展开式中含xn－1项的系数，则数列的前n项和为()A.B.C.D.解析：含xn－1的项为Cxn－1，an＝C＝C＝，＝＝2Sn＝2＝2＝.故选D.答案：D6．若(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a2的值是()A．84B．－84C．280D．－280解析：a2＝C(－2)2⇔＝n(n－1)，四个选项中只有＝42＝7×6满足．答案：A7．(2013·琼海模拟)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝()A．180B．90C．－5D．5解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C22(－1)8＝180.故选A.答案：A18．(2013·汕头二模)关于二项式(x－1)2013有下列命题：(1)该二项展开式中非常数项的系数和是1；(2)该二项展开式中第六项为C20136x2007；(3)该二项展开式中系数最大的项是第1007项；(4)当x＝2014时，(x－1)2013除以2014的余数是2013.其中正确命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为－1，故(1)正确；其第六项T6＝Cx2013－5·(－1)5＝－Cx2008，故(2)错；该二项展开式共有2014项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，由二项式系数的性质知第1007项与1008项系数的绝对值最大，故(3)正确；(x－1)2013＝(x2013－Cx2012＋Cx2011－…＋＝(x2012－Cx2011＋Cx2010－…＋C－1)x＋x－1.当x＝2014时，被2014除的余数为2014－1＝2013.故(4)正确．其中正确命题有3个．故选C.答案：C9．(2013·四川卷)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．解析：Tr＋1＝Cx5－ryr(r＝0，1，2，3，4，5)，由题意知所以含x2y3的系数为C＝＝10.答案：1010．在二项式的展开式中，含x项的系数是－80，则实数a的值为________．解析：二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－2r＝C·(－a)rx10－3r，令10－3r＝1，所以r＝3，所以C·(－a)3＝－80，解得a＝2.答案：211．已知函数f(x)＝－x3＋3f′(2)x，令n＝f′(2)，则二项式展开式中常数项是第________项．解析：由f(x)＝－x3＋3f′(2)x得f′(x)＝－3x2＋3f′(2)，所以f′(2)＝－3×22＋3f′(2)，解得f′(2)＝6，则的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r＝C·2rx6－r，令6－r＝0，得r＝4，所以展开式中常数项是第r＋1＝5项．答案：512.的展开式中x4的系数为________．解析：因为C·x7·＝－120x4，所以展开式的x4的系数为－120.答案：－12013．(2013·深圳一模)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a3＝________．解析：二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(2x)r，故x3的系数a3＝C·23＝80.答案：8014.的二项展开式中常数项为________(用数字作答)．解析：因为的二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r·(－1)r＝(－1)rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以的二项展开式中常数项为(－1)3C＝－20.答案：－2015．(1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1能被31整除；(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：(1)证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－12＝＝25n－1＝32n－1.＝(31＋1)n－1＝31n＋C·31n－1＋C·31n－2＋…＋C·31＋1－1＝31(31n－1＋C·31n－2＋…＋C)显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．(2)解析：∵0.9986＝(1－0.002)6＝1－C(0.002)＋C(0.002)2－C(0.002)3＋…第三项T3＝15×(0.002)2＝0.00006＜0.001，以后个项更小，∴0.9986≈1－0.012＝0.988.3
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