第2课时定点、定值、探索性问题[基础题组练]1．已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则OM·ON的值为()A．3B．4C．5D．与P的位置有关解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由，得，此时OM·ON＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，OM·ON＝3.②当y0≠0时，直线l的方程是y＝(x0x－4)．由，得(4y－x)x2＋8x0x－16＝0(*)，又x－4y＝4，因此(*)即是－4x2＋8x0x－16＝0，x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.综上所述，OM·ON＝3，故选A.2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则＋＋＝________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由FA＋FB＝－FC，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0.答案：03．(2019·合肥市第二次质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN＝MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(－1，0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝＝，即＝，解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.(2)证明：法一：依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝，所以y′＝，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝，所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.令x＝0，则y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，所以MA＝(x1－m，y1＋3)，MB＝(－m，－y1＋3)，所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m，6)，所以ON＝OM＋MN＝(x1－m，3)，其中O为坐标原点．设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，①设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋x，②联立①②得，x2＝12[k(x－x1)＋x]，因为Δ＝144k2－48kx1＋4x＝0，所以k＝，所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x，令x＝0，得B点坐标为(0，－x)，所以MA＝，MB＝，所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m，6)，所以ON＝OM＋MN＝(x1－m，3)，其中O为坐标原点，设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．4．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．解：(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x2≠0，因为m·n＝0，所以＋y1y2＝0，所以k1·k2＝＝－.(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－，得－y＝0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，所以|x1|＝，|y1|＝，所以S△OPQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为＋y1y2＝0，所以＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.所以S△OPQ＝·|PQ|＝|b|＝2|b|·＝1.所以△OPQ的面积S为定值．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝×＝2...
