高中数学例谈立体几何中的排列组合概率问题专题辅导VIP免费

高中数学例谈立体几何中的排列组合概率问题张世林谭升平在近几年的高考试题中，出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，往往作为高考选择填空题的压轴题。它不仅考查了相关的基础知识，而且还注重对数学思想方法及数学能力的考查。一、共面问题：分类讨论例1.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A.3个B.4个C.6个D.7个解析：平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点。如图1，设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有4个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有3个。故适合题设的平面α共有7个，应选D。图1例2.在四棱锥P—ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（）种。A.40B.48C.56D.62图2解析：如图2，满足题设的取法可分为三类：（1）在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有44053C（种）不同的取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有2843C（种）不同的取法；（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有4821C（种）不同的取法。故不同的取法共有408856（种）。点评：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类既不重复，也不遗漏。在例2中，最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。二、异面问题：灵活转化例3.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A.18对B.24对C.30对D.36对解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成C64312（个）三棱锥，则共有36对异面直线。故选D。点评：利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对问题的常用方法。例4.四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。现有编号为①②③④的四个仓库，用来存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（）A.96B.48C.24D.0图3解析：如图3，分别用1～8标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下（其实就是异面直线配对）：则8种产品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，6）、（4，7）”两种可能，故所求的方法总数为24844A（种），应选B。点评：这道实际应用题用四棱锥的8条棱的关系来研究化工产品的存放种数，体现了数学建模的思想。同学们在解决问题时，首先要将问题转化为四棱锥的8条棱之间的排列组合情况，然后再把四棱锥的8条棱分成4对异面直线。三、综合问题：化整为零，各个击破例5.以平行六面体ABCDABCD1111的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P为（）A.367385B.376385C.192385D.18385解析：此问题可分解成五个小问题：（1）由平行六面体的8个顶点可组成多少个三角形？可组成C8356（个）三角形。（2）平行六面体的8个顶点中，4点共面的情形共有多少种？平行六面体的6个面加上6个对角面，共12个平面。（3）在上述12个平面内的每个四边形中共面的三角形有多少个？有C434（个）（4）从56个三角形中任取2个三角形共面的概率P等于多少？PCC121838542562（5）从56个三角形中任取2个三角形不共面的概率P等于多少？利用求对立事件概率的公式，得P118385367385。故选A。点评：这道题以立体几何熟知内容为载体，构思巧妙，综合考查立体几何、排列组合、概率等基础知识，深入考查同学们的数学思维能力。本题的得分率较低，同学们的主要失误表现在以下两方面：（1）面对一个复杂的问题，缺乏明确的解题目标意识，不善于将其分解为若干个子问题；（2）漏掉平行六面体的6个对角面也是4点共面的情形，造成所求概率PCC1637638542562，误选B。