2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.7利用空间向量求空间角真题演练集训理新人教A版1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B－D′A－C的正弦值．(1)证明：由已知，得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4.由EF∥AC，得＝＝.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.(2)解：如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，HD的方向为y轴正方向，HD′的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系H－xyz.则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，AB＝(3，－4,0)，AC＝(6,0,0)，AD′＝(3,1,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则即所以可取m＝(4,3，－5)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，1则即所以可取n＝(0，－3,1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝－，sin〈m，n〉＝.因此二面角B－D′A－C的正弦值是.2．[2016·山东卷]在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点．求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)解：解法一：连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.2由题意，得B(0,2，0)，C(－2，0,0)，所以BC＝(－2，－2，0)．过点F作FM垂直OB于点M，所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．故BF＝(0，－，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量，由可得可得平面BCF的一个法向量m＝.因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0.1)，所以cos〈m，n〉＝＝.所以二面角F－BC－A的余弦值为.解法二：如图，连接OO′.过点F作FM垂直OB于点M，则有FM∥OO′.又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC.可得FM＝＝3.过点M作MN垂直BC于点N，连接FN.可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F－BC－A的平面角．又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin45°＝，从而FN＝，可得cos∠FNM＝.所以二面角F－BC－A的余弦值为.3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．3(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．(1)证明：由已知，得AM＝AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知，TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解：取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC，得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，PM＝(0,2，－4)，PN＝，AN＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN〉|＝＝，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；4(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．(1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC可知，AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，...
