课时作业51直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为()A．±B．±5C．3D．±3解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有＝，即a＝±5.答案：B2．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．4解析：依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4.答案：C3．已知直线l经过点M(2,3)，当圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截l所得弦长最长时，直线l的方程为()A．x－2y＋4＝0B．3x＋4y－18＝0C．y＋3＝0D．x－2＝0解析： 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截l所得弦长最长，∴直线l经过圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圆心(2，－3)．又直线l经过点M(2,3)，∴直线l的方程为x－2＝0.答案：D4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A、B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为()A．4＋B．4＋C．4±D．4±解析：易知△ABC是边长为2的等边三角形．故圆心C(1，a)到直线AB的距离为.则＝，解得a＝4±.答案：C5．过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0解析：如图所示，由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.1答案：A6．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()A.，－4B．－，4C.，4D．－，－4解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.答案：A二、填空题7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2＝.答案：8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝09．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA·PB＝________.解析：由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示． P(1，)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝.∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝，则OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴PA·PB＝|PA||PB|·cos∠APB＝××cos60°＝.2答案：10．在平面直角坐标系xOy中，以点(2，－3)为圆心且与直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________________．解析：由2mx－y－2m－1＝0，得2m(x－1)－(y＋1)＝0，所以直线过定点(1，－1)，所以圆心到直线的最大距离为＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5三、解答题11．已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解：由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1) (＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.(2) (3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. |MC|＝＝，∴过点M的圆C的切线长为...
