第十一章计数原理（理）排列与组合的综合问题【背一背重点知识】1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2.排列与组合的定义(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝.(2)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C＝或写成C＝.3.组合数的性质①C＝C；②C＝C＋C.【讲一讲提高技能】1．必备技能：（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．（3）求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2．典型例题：例1将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1，2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．52种B．36种C．20种D．10种【答案】D【解析】试题分析：1号盒放1个，2号盒放3个，方法种数是，1号盒放2个，2号盒放2个，方法种数是，所以不同的放球方法有．例2把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.分析：这是一道排列问题，先考虑产品A与B相邻，再考虑当A、B相邻又满足A、C相邻，利用“间接法”.【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.【练一练提升能力】1.从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种【答案】C【解析】2.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】96【解析】这相当于相邻问题，连号的两张票是12,23,34,45中的一种，把这两张票合起来作为一张票，这样相当于4张不同的票给4个人，因此不同分法种种数为．利用二项式定理求指定项【背一背重点知识】1.二项式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)．2.二项展开式的通项：Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二项式系数．【讲一讲提高技能】1.必备技能：应用二项式定理关键是掌握通项公式，在应用通项公式时，要注意：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，的指数和为且不能随便颠倒位置；④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．2.典型例题：例1若（）的展开式中当且仅当第6项系数最大，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】例2若的展开式中项的系数为20，则的最小值.分析：展开式的通项为，令根据得，再应用基本不等式即得．解析：展开式的通项为，令得，所以，由得，从而，当且仅当时，的最小值为.【练一练提升能力】1.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A．-10B．10C．-45D．45【答案】D【解析】2.在的展开式中，的幂指数是整数的共有（）A．项B．项C．项D．项【答案】C【解析】试题分析：，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．二项式系数与项的系数【背一背重点知识】1.二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二...
