第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内增加的；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内减少的；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()[答案](1)×(2)√(3)×2．f(x)＝x3－6x2的递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得01时，g(x)>0.[解](1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).2分当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内是减少的．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，2当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减少的；5分当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的.7分(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.9分当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝－>0.12分求函数的单调区间(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．[解]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的递增区间为(－∞，＋∞).5分②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增所以f(x)的递减区间为，递增区间为，.12分[规律方法]求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得递减区间．[变式训练2]已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数，则函数...
