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高中数学 课时分层作业13 直线与平面垂直的判定(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP免费

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课时分层作业(十三)直线与平面垂直的判定(建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直,那么直线l与平面α的位置关系是()A.l⊂αB.l⊥αC.l∥αD.l⊂α或l∥αD[结合正方体模型,直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内,故选D.]2.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°B[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.]3.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α相互平行B.l和平面α相互垂直C.l在平面α内D.不能确定D[如下图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.]4.如图所示,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定C[∵BA⊥α,α∩β=l,l⊂α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴l⊥AC.]5.三棱锥的三条侧棱两两相等,则顶点在底面的射影为底面三角形的()A.内心B.重心C.外心D.垂心C[如图,设点P在平面ABC内的射影为O,连接OA,OB,OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等,∴PA=PB=PC.∵PO⊥底面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,∴OA=OB=OC,故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.]二、填空题6.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,M为线段BB1上的一动点,则直线AM与直线BC的位置关系为________.AM⊥BC[∵AA1⊥平面ABC,∴BC⊥AA1,∵∠ABC=90°,∴BC⊥AB,又AB∩AA1=A,∴BC⊥平面AA1B1B,又AM⊂平面AA1B1B,∴AM⊥BC.]7.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABC,此图形中有________个直角三角形.4[∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,∵AC⊥BC,且PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.综上知:△ABC,△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形,共有4个.]8.如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥⊙O所在的平面,C是圆上一点,且∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________.2[因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中,AC=AB=PA,所以tan∠PCA==2.]三、解答题9.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.[证明]∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.10.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=2,E,F分别是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成角的正弦值.[解]过A作AH⊥BC于H,连接PH,∵PC⊥平面ABCD,AH⊂平面ABCD,∴PC⊥AH,又PC∩BC=C,∴AH⊥平面PBC.∴∠APH为PA与平面PBC所成的角,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形,又AH⊥BC,∴H为BC中点,AH=,∵PC=AC=2,∴PA=2,∴sin∠APH==.故PA与平面PBC所成角的正弦值为.[能力提升练]1.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交C[取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,∴BD⊥面AOC,BD⊥AC,又BD、AC异面,∴选C.]2.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长和两条对角线AC,BD都相等,且E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________.[连接EF,根据题意,BC⊥AF,BC⊥DF.∵AF∩DF=F,∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角,设BC=2,则BF=1,BE=,∴sin∠BEF==.]

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