专题4同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系★★★○○○○1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝tan表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，＝tan3x都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)对于含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．[例](2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cosα·＋sinα＝________.[解析]原式＝cosα＋sinα1＝cosα·＋sinα·，因为α是第二象限角，所以sinα＞0,cosα＜0，所以cosα·＋sinα·＝－1＋1＝0，即原式等于0.[答案]01.若tanα＝2，则(1)＝________；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.2.已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝.(1)求sinx－cosx的值；(2)求的值．[解](1)由sinx＋cosx＝，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，整理得2sinxcosx＝－.∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.由x∈(－π，0)，知sinx<0，又sinx＋cosx>0，∴cosx>0，则sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－.(2)＝＝＝＝－.1.若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.B．－C.D．－解析：选D因为α为第四象限角，故cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.2.(2017·厦门质检)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为()2A．－B.C．－D.解析：选B∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.3.已知sinα＋cosα＝，则tanα＝()A.B.C．－D．－4.sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝＋＝44.答案：445.已知tanα＝－，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2α＋2sinαcosα的值．解：(1)＝＝＝.(2)＝＝＝＝＝－.(3)sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3
