用第三平面确定二面角的棱二面角是高考的重点知识，也是久考不衰的热点之一．考生历来都感到困难，尤其是对无棱的二面角，更感到无章可循，显得束手无策．本文将从同时与两平面相交的第三平面入手考虑．因为两平面与第三平面分别有一条相交直线，又这两条直线同时在第三平面内，其位置关系只有两种情况：相交与平行．若两条直线相交，由公理3知，交点必在两平面的交线上，由此可作出棱；若两条直线平行，由线面平行的判定和性质知，两条直线必与两平面的交线平行，由此可作出棱．下面举例说明具体的作法．例1底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD，∠ABC=90，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12BC，求面SCD与面SAB所成的二面角的正切值．分析一：如图1，考虑与平面SAB和平面SCD同时相交的平面ABCD，其交线分别为AB和CD，而AB，CD为直角梯形的两腰．因此，AB，CD必相交，设交点为E，连结SE，则SE必为面SCD与面SBA所成二面角的棱，然后可证得，∠BSC为所求二面角的平面角，进而可求得其正切值．分析二：如图2，分别取SC，SB的中点M，F，连结AF，FM，DM，由FM12∥BC∥AD知，AF∥DM，此时，考虑与平面SCD和平面SBA同时相交的平面AFMD，其交线分别为DM和AF，则平面SCD和平面SBA所成的二面角的棱必与AF，DM平行，因此，在平面SAB内，过S作SE∥AF交BA延长线于E，则SE必为面SCD与面SBA所成二面角的棱，然后可证得∠BSC为所求二面角的平面角．例2在正三棱柱111ABCABC中，1EBB，截面1AEC侧面1AC．若111AAAB，求平面1AEC与平面111ABC所成二面角（锐角）的度数．分析：如图3，考虑与平面1AEC和平面111ABC同时相交的第三平面11BBCC，交线分别为CE和11BC，两直线为相交直线，设交点为D，连结1AD，则1AD为平面1AEC与平面111ABC所成二面角的棱，然后可证得，11CAC为所求角，在11RtCAC△中可求得1145CAC．例3过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．分析：如图4，考虑与平面PAB和平面PCD同时相交的第三平面ABCD，其交线为AB和CD，而AB∥CD，则平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必与AB，CD平行．在平面PAB内，过点P作PQ∥AB，则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，然后可证得，用心爱心专心PA⊥PQ，PD⊥PQ，∠APD为所求角，在Rt△APD中可求得，∠APD=45°．例4如图5，在正四面体A-BCD中，:::1:2APPBDRRACQQA，请确定截面PQR和底面BCD所成二面角．分析：如图所示，考虑与截面PQR和底面BCD同时相交的第三平面ABC，交线分别为BC和PQ，而PQ与BC为相交直线，设交点为E，则E必在截面PQR和底面BCD所成二面角的棱上，同理，考虑与截面PQR和底面BCD同时相交的第三平面ABD，交线分别为PR与BD，而PR与BD为相交直线，设其交点为F，则点F必在截面PQR和底面BCD所成二面角的棱上，连结EF，则EF为截面PQR和底面BCD所成二面角的棱，取线段EF的中点M，连结PM，BM，可证得∠PMB为所求角．用心爱心专心
