专题3.10判断点在圆内外向量应用最厉害【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，则点在圆内；点在圆外；点在圆上．③方程法，已知圆的方程，点，则点在圆内；点在圆上；点在圆外.四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一向量法判定点与圆的位置关系例1【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得解得，所以椭圆E的方程为．(Ⅱ)设点AB中点为．由所以从而.所以.,故所以，故G在以AB为直径的圆外．所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外．类型二四点共圆应用问题例2.（2014全国大纲21）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.类型三动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（Ⅰ）求椭圆的方程。（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。（法2）由得， 动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，即，化简得①此时==，==，∴(,),由得(4，).假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,设(,0)，则=0对满足①式的，恒成立. =(－,),=(4－，)，∴=0，整理得，②∴，解得=1，∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点. =(－1,),=(3，)，∴==0，∴恒有，∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.类型四证明四点共圆例4.已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【扩展链接】1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.2.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：3.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则①.②.③.④.；⑤.；⑥.；【同步训练】1．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【思路点拨】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．2.已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运...
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