课时分层作业(二十三)基本不等式：≤(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列结论正确的是()【导学号：91432353】A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x>0时，＋≥2C．当x≥2时，x＋的最小值为2D．当02xC.≤1D．x＋≥2C[对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立，故选C.]3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是()【导学号：91432354】A.＋<1B.＋≥1C.＋<2D.＋≥2B[因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.]4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()A.>B.2，故>.]5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有()【导学号：91432355】A．最大值64B．最小值C．最小值D．最小值64D[由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.]二、填空题6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．4[ a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.]7．已知00，≤a恒成立，则a的取值范围是________．[因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥.]三、解答题9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值.【导学号：91432357】[解](1) x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1.(2) x，y是正实数，∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．又x＋y＝4，∴＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？[解]设使用x年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.当且仅当＝，即x＝10时，y取最小值．即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．[冲A挑战练]1．若－40.故f(x)＝－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36B[(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]3．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值为________.【导学号：91432359】4[由lg2x＋lg8y＝lg2，得2x·8y＝2，即2x＋3y＝21，∴x＋3y＝1，∴＋＝(x＋3y)＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．]4．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[ x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝1＋xy. xy≤，∴(x＋y)2－1≤，整理求得－≤x＋y≤，∴x＋y的最大值是.]5．某厂家拟在2017年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家...
