2016届高考数学一轮复习4.4平面向量的综合问题课时达标训练文湘教版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则＝()A.B.C．2D．10【解析】由a⊥c⇒a·c＝0⇒2x－4＝0⇒x＝2，由b∥c⇒－4＝2y⇒y＝－2，故|a＋b|＝＝.【答案】B2．△ABC中，AB边上的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b【解析】由a·b＝0可得∠ACB＝90°，故AB＝，用等面积法求得CD＝，所以AD＝，故AD＝AB＝(CB－CA)＝a－b.【答案】D3．已知O为坐标原点，A点的坐标为(1，2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝OA·OP的最大值为()A．－2B．－1C．1D．2【解析】作可行域如图，z＝OA·OP＝x＋2y，显然在B(0，1)处zmax＝2.故选D.【答案】D4．在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝45°，点P的斜坐标定义为“若OP＝x0e1＋y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，y0)”．若F1(－1，0)，F2(1，0)，且动点M(x，y)满足|MF1|＝|MF2|，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为()A．x－y＝0B．x＋y＝0C.x－y＝0D.x＋y＝0【解析】依题意，MF1＝(－1－x，－y)＝(－1－x)e1－ye2，MF2＝(1－x，－y)＝(1－x)e1－ye2，由|MF1|＝|MF2|，得MF12＝MF22，∴[(－1－x)e1－ye2]2＝[(1－x)e1－ye2]2，∴4x＋4ye1·e2＝0. ∠xOy＝45°，∴e1·e2＝，故2x＋y＝0，即x＋y＝0.【答案】D5．(2013·黄冈期末)如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC.若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC·BD＝()A．a2－b2B．b2－a2C．a2＋b2D．ab【解析】AC·BD＝AC·(AD－AB)＝|AC||AD|·cos〈AC，AD〉－|AC||AB|cos〈AC，AB〉， AB⊥BC且AD⊥DC，∴AC·BD＝|AD|2－|AB|2＝b2－a2.【答案】B6．(2014·厦门质检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()1A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心【解析】因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得NA＋NB＝－NC＝CN，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重心；由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，得PA·PB－PB·PC＝PB·CA＝0，则点P在AC边的高线上，同理可得点P在其他边的高线上，所以点P为△ABC的垂心．【答案】C二、填空题7．(2014·荆州高三质检)已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.【解析】若a⊥(2a＋λb)，则a·(2a＋λb)＝0，即2|a|2＋λ·|a||b|·cos＝0，∴2＋λ×1×4×＝0，∴λ＝1.【答案】18．(2013·安阳模拟)已知P为锐角三角形ABC的边AB上一点，A＝60°，AC＝4，则|PA＋3PC|的最小值为________．【解析】 PC＝AC－AP，∴|PA＋3PC|2＝|3AC－4AP|2＝9AC2－24AP·AC＋16AP2.设|AP|＝x，则|PA＋3PC|2＝16×9－48x＋16x2＝16(x2－3x＋9)． 三角形ABC是锐角三角形，∴0＜x＜8，则当x＝时，|PA＋3PC|2取得最小值为16×＝108，故|PA＋3PC|的最小值为＝6.【答案】69．在△ABC中，已知⊥BC，且2AB·AC＝|AB|·|AC|，则△ABC的形状是________．【解析】由⊥BC，得∠BAC的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.由2AB·AC＝|AB||AC|，得cosA＝，∴A＝60°，故△ABC为等边三角形．【答案】等边三角形10．已知O是锐角△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若AO＝xAB＋yAC，且2x＋10y＝5，则cos∠BAC＝________．【解析】如图所示，则A(0，0)，C(10，0)，B(6cosA，6sinA)， O在AC的中垂线上，∴设O(5，m)，又 AO＝xAB＋yAC，即(5，m)＝x(6cosA，6sinA)＋y(10，0)，∴5＝6xcosA＋10y，而2x＋10y＝5，∴6cosA＝2，即cosA＝.【答案】三、解答题11．设a＝(cosα，(λ－1)sinα)，b＝(cosβ，sinβ)λ>0，0<α<β<是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝，且tanβ＝，求tanα的值．【解析】(1)由题设，可得(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|2－|b|2＝0.代入a，b的坐标...
