第十三节导数在研究函数中的应用(一)题号12345答案1.函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)答案：B2．已知函数y＝f(x)的图象如下图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()解析：由函数f(x)的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴左侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状．故选A.答案：A3．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－1，0)C．(1，＋∞)D．(0，1)解析：∵y′＝a(3x2－1)＝3a，∴当－＜x＜时，＜0.∴要使y′＜0，必须取a＞0.故选A.答案：A4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时，t的值为()A．1B.C.D.解析：由题意知，|MN|＝x2－lnx(x＞0)，不妨令h(x)＝x2－lnx(x>0)，则h′(x)＝2x－，令h′(x)＝0解得x＝，因为当x∈时，h′(x)＜0，当x∈时，h′(x)＞0，所以当x＝时，|MN|达到最小，即t＝.故选D.1答案：D5．(2013·湖北卷)已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则()A．f(x1)＞0，f(x2)＞－B．f(x1)＜0，f(x2)＜－C．f(x1)＞0，f(x2)＜－D．f(x1)＜0，f(x2)＞－解析：由已知得f′(x)＝0有两个正实数根x1，x2(x1
0)，依题意lnx＋1－2ax＝0有两个正实数根x1，x2(x10.令g′(x)＝0，得x＝，于是g(x)在上是增函数，在上是减函数，所以g(x)在x＝处取得极大值，所以f′＝ln>0，即>1，00，x∈(x2，＋∞)时f′(x)<0，所以x2是f(x)的极大值点，所以f(x2)>f(1)＝－a>－.答案：D6．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．解析：f′(x)＝＋2x－10，由f′(3)＝＋6－10＝0得a＝12，经检验满足题设条件．答案：127．设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1，则f(x)的单调减区间为________．解析：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a＞1知，当x＜2时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(2，2a)上是减函数；当x＞2a时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a)上是减函数．答案：(2，2a)8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析：∵y′＝(n＋1)xn，∴切线斜率为n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，∴xn＝1－＝.∴a1＋a2＋…＋a99＝lgx1＋lgx2＋…＋lgx99＝lg(x1·x2…x99)＝lg＝lg＝－2.答案：－29．已知函数f1(x)＝e|x－a|，f2(x)＝ebx.(1)若f(x)＝f1(x)＋f2(x)－bf2(－x)，是否存在a，b∈R，y＝f(x)为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；(2)若a＝2，b＝1.求函数g(x)＝f1(x)＋f2(x)在R上的单调区间．解析：(1)存在a＝0，b＝－1使y＝f(x)为偶函数，证明如下：此时f(x)＝e|x|＋e－x＋ex，x∈R∴f(－x)＝e|－x|＋ex＋e－x＝f(x)，∴y＝f(x)为偶函数(注：a＝0，b＝0也可以)．2(2)∵g(x)＝e|x－2|＋ex＝①当x≥2时，g(x)＝ex－2＋ex，∴g′(x)＝ex－2＋ex＞0，∴y＝g(x)在[2，＋∞)上为增函数．②当x＜2时，g(x)＝e2－x＋ex，则g′(x)＝－e2－x＋ex，令g′(x)＝0得到x＝1，当x＜1时，g′(x)＜0，∴y＝g(x)在(－∞，1)上为减函数；当1≤x＜2时，g′(x)＞0，∴y＝g(x)在(1，2)上为增函数．综上所述：y＝g(x)的单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．10.设f(x)＝aex＋＋b(a>0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))的切线方程为y＝x，求a，b的值．解析：(1)设t＝ex(t≥1)，则y＝at＋＋b⇒y′＝a－＝.①当a≥1时，y′>0⇒y＝at＋＋b在t≥1上是增函数，所以当t＝1(x＝0)时，f(x)的最小值为a＋＋b;②当0
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