蕴含在概率中的数学思想一、分类与整合思想分类与整合思想是重要的数学思想方法，通过分类可以把复杂的问题化分为简单而熟悉的问题进行解决.只是在分类时要注意选择正确的分类标准，力争做到不重不漏.例1袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，取到黑球的概率是多少？分析：取到黑球包括两种情况：“一个黑球、一个白球”、“两个黑球”，因此需分情况讨论.解：设“取到一个黑球，一个白球”为事件A，“取到两个黑球”为事件B，“取到黑球”为事件C，则()()PCPAB.由题意知，从袋中任取2个球，共有6×5÷2＝15种可能结果，“取到一个黑球、一个白球”有3×3＝9种可能结果，“取到两个黑球”有3×2÷2＝3种可能结果.故9331()()155155PAPB，.又事件A与事件B互斥，故4()()()5PCPAPB.二、数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，在解题过程中，多从形的角度审视和挖掘数所代表的本质，借助图形的直观性，可更好的解题.例2一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷两次，试问：（1）向上的数字之和为5的概率是多少？（2）向上的数字之和至少是9的概率是多少？（3）向上的数字之和为多少时概率最大？分析：将正方体玩具先后抛掷两次可能出现36种结果，用下图所示的图表表示出来，则所有的结果便尽现眼底，一目了然.两次抛掷出现的数字之和第一次抛掷出现的数字123456第二次抛掷出现的数字123456723456783456789456789105678910116789101112解：将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数字有1，2，3，4，5，6这六种结果，所以，先后将这些玩具抛掷两次，一共有6×6＝36种不同的结果.（1）由图表可知，向上的数字之和为5的结果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）四种，其中括号内的两个数字分别为第一、第二次向上的数字.所以向上的数字之和为5的概率是41369P.（2）由图表可知，向上的数字之和至少是9的结果有（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）十种，所以向上的数字之和至少是9的概率用心爱心专心1053618P.（3）由图表可知，向上的数字之和出现最多的数为7（一共出现了6次），故向上的数字之和为7的概率最大，最大概率为61366P.三、转化与化归思想所谓“化归”就是转化和归结.在解决数学问题时，人们常将待解决的问题甲，通过某种转化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题乙，然后，通过乙问题的解去求甲问题的解，这就是“化归”的思想.１.运用公式()()1PAPA进行化归例3如右图，把一个体积为364cm的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为31cm的小正方体，从中任取一块，求这一块至少有一面涂有红漆的概率.解：直接求“至少有一面涂有红漆”的概率比较困难，可以转化为求其对立事件的概率，即求“未涂红漆”的小木块的概率.经分析知未涂红漆的小木块有3(42)8个，故至少一面涂有红漆的小木块有648=56个，所以所求事件的概率为567648.友情提示：含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质()1()PAPA进行求解.2.将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率例4一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两个球恰好颜色不同的概率.解：记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球恰好颜色不同”为事件Ａ，因为摸出一个球为白球的概率是25＝0.4，摸出一球为黑球的概率是35＝0.6，故“有放回地摸两次，颜色不同”包括“先白后黑”和“先黑再白”.∴()PA＝0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.四、方程思想方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决一些概率问题时，如能根据题目中给出的数量关系，列出方程或方程组，往往可使问题得到解决.例5为了保证出版物的质量，出版社经常由两人独立校对同一校样，如果甲发现120处错误，乙发现110处错误，其中有92处错误是共同的，能否据此估计出校样中有多少处错误？他们两人可能遗漏了多少处错误？解：设共有x处错误，则甲发现错误的概率（即校对能力）...
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