第4节数系的扩充与复数的引入[A级基础巩固]1．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解析：由已知可得⇒⇒－3＜m＜1.答案：A3．设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a＝()A．2B.C．－D．－2解析：因为＝＝是纯虚数，所以2a－1＝0且a＋2≠0，所以a＝.答案：B4．(一题多解)(2019·北京卷)已知复数z＝2＋i，则z·—z＝()A.B.C．3D．5解析：法一因为z＝2＋i，所以—z＝2－i，所以z·—z＝(2＋i)(2－i)＝5.法二因为z＝2＋i，所以z·—z＝|z|2＝5.答案：D5．如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则复数z1·z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由图知OA＝(－2，－1)，OB＝(0，1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1·z2＝1－2i，所以复数z1·z2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．答案：D6．(2020·深圳调研)设i为虚数单位，则复数＝()A．－1＋iB．－2＋2i1C．1－iD．2－2i解析：＝＝＝1－i.答案：C7．(2020·菏泽联考)在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z等于()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i解析：因为复数z对应的点与＝＝1＋i对应的点关于实轴对称，所以z＝1－i.答案：D8．(多选题)在下列命题中，错误的命题是()①两个不是实数的复数不能比较大小；②复数z＝i－1对应的点在第四象限；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.A．①B．②C．③D．④解析：①显然为真命题．对于命题②，复数z＝i－1对应的点在第二象限，所以该命题是错误的．对于命题③，若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，所以x＝1，所以该命题是错误的．对于命题④，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，可以z1＝i，z2＝0，z3＝1，所以该命题是错误的．答案：BCD9．已知复数的实部与虚部相等(i为虚数单位)，那么实数a＝________．解析：因为＝＝3＋ai的实部与虚部相等，所以a＝3.答案：310．(2019·天津卷)i是虚数单位，则的值为________．解析：因为＝＝2－3i，所以＝|2－3i|＝.答案：11．(2018·江苏卷)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．解析：因为i·z＝1＋2i，所以z＝＝＝2－i.所以复数z的实部为2.答案：212．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．解析：因为|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知＝＝.2答案：[B级能力提升]13．(2020·广州市质检)已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，若其对应的点在第四象限，则a＋2>0，且1－2a<0，解得a>.即“a>”是“点M在第四象限”的充要条件．答案：C14．设z是复数，f(z)＝zn(n∈N*)．对于虚数单位i，当f(1＋i)取得最小正整数时，对应n的值是()A．2B．4C．6D．8解析：f(1＋i)＝(1＋i)n，当f(1＋i)取得最小正整数时，n为8.答案：D15．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝________，复数z的共轭复数z＝________．解析：因为z＝＝＝的实部为－3，所以＝－3，解得a＝7.所以z＝－3－4i，故|z|＝＝5，且共轭复数z＝－3＋4i.答案：5－3＋4i[C级素养升华]16．(多选题)下面是关于复数z＝的四个命题．p1：|z|＝2.p2：z2＝2i.p3：z的共轭复数为1＋i.p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p1B．p2C．p3D．p4解析：z＝＝＝－1－i.|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；—z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选BD.答案：BD34
