专题九思想方法专题第三讲分类讨论思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)．(×)(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±.(×)(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0，3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)1．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(B)A．4条B．3条C．2条D．1条解析：由2x2－y2＝2，得x2－＝1.当l无斜率时，|AB|＝＝4，符合要求。当l有斜率时，若A、B两点都在右支上，则|AB|>4不符合要求，A、B在左、右两支上，有两条，所以共3条．2．已知正三角形ABC的边长为3，到这个三角形的三个顶点距离都等于1的平面的个数是(D)A．2B．3C．5D．8解析：对三个顶点和平面的位置分类：在平面同一侧有2个，在平面的两侧有6个．∴共有2＋6＝8个．3．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数有(B)A．14B．13C．12D．10解析：方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，分析讨论．①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解，此时b可以取4个值，故有4个有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)． (a，b)共有4×4＝16个实数对，故答案应为16－3＝13.4.(2014·浙江卷)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是(－∞，]．解析：由题意或解得f(a)≥－2，当或解得a≤.故a的取值范围是(－∞，]．一、选择题1．已知实数m是2，8的等比中项，则曲线x2－＝1的离心率为(D)A.B.C.D.或解析： m是2，8的等比中项，∴m2＝16，∴m＝±4.当m＝4时，曲线为双曲线，其中a＝1，c＝，e＝＝；当m＝－4时，曲线为椭圆，其中a＝2，c＝，e＝＝，故选D.2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤2的解集是(A)A．[0，＋∞)B．[－1，2]C．[0，2]D．[1，＋∞)解析：由得0≤x≤1；由得x>1，∴解集是[0，＋∞)，故选A.3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcosπx|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为(B)A．5个B．6个C．7个D．8个解析：因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.所以当x∈[1，2]，(2－x)∈[0，1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3,当x∈时，g(x)＝xcos(πx)；当x∈时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x),g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1),f＝g＝0，作出函数f(x),g(x)的大致图象，函数h(x)除了0，1这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点．故选B.4．经过点P(2，3)且在x，y轴上截距相等的直线方程是(B)A．x...
