第3讲与二次函数有关的综合性问题选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B二次函数的解析式4,11,141二次函数的图象和性质1,2,3,5,8,9,152,4,5,6与二次函数有关的参数问题10,12,137,9,10,11,13,14二次函数的最值问题6,1612综合问题73,8,15巩固提高A一、选择题1.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上是(C)(A)递减函数(B)递增函数(C)先递减再递增(D)先递增再递减解析:作出函数y=x2-6x+10的图象如图所示,观察图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增.故选C.2.“a=3”是“函数f(x)=x2-2ax+2在区间[3,+∞)内单调递增”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为当函数f(x)=x2-2ax+2在区间[3,+∞)内单调递增时,对称轴x=a≤3,所以“a=3”是“函数f(x)=x2-2ax+2在区间[3,+∞)内单调递增”的充分不必要条件.3.函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是(B)(A)(-∞,0)(B)[0,](C)[0,+∞)(D)(,+∞)解析:(数形结合法)y=|x|(1-x)===画出函数的图象,如图所示.由图象可知原函数在[0,]上单调递增.故选B.4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则(A)(A)a>0,4a+b=0(B)a<0,4a+b=0(C)a>0,2a+b=0(D)a<0,2a+b=0解析:由f(0)=f(4)>f(1),可得函数图象开口向上,即a>0,且对称轴-=2,所以4a+b=0,故选A.5.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是(C)解析:由一次函数y=ax+b的图象可得,a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,故选项A错误;由一次函数y=ax+b的图象可得,a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=-<0,故选项B错误;由一次函数y=ax+b的图象可得,a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,对称轴x=-<0,故选项C正确.由一次函数y=ax+b的图象可得,a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,故选项D错误.故选C.6.(2017·浙江卷)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(B)(A)与a有关,且与b有关(B)与a有关,但与b无关(C)与a无关,且与b无关(D)与a无关,但与b有关解析:设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m=+ax1+b,M=+ax2+b.所以M-m=-+a(x2-x1),显然此值与a有关,与b无关.故选B.7.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=-对称.据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是(D)(A){1,2}(B){1,4}(C){1,2,3,4}(D){1,4,16,64}解析:设关于f(x)的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0有两根,即f(x)=t1或f(x)=t2.而f(x)=ax2+bx+c的图象关于直线x=-对称,因而f(x)=t1或f(x)=t2的两根也关于直线x=-对称.而选项D中≠.故选D.二、填空题8.设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一,则a的值为.解析:若a>0,即图象开口向上,因为b>0,所以对称轴x=-<0,故排除图B和D,若a<0,即图象开口向下,因为b>0,所以对称轴x=->0,故函数图象为图C,由图C知函数过点(0,0),所以a2-1=0,所以a=-1.答案:-19.y=-x2+2|x|+3的单调增区间为.解析:由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,画出二次函数的图象如图所示.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1],[0,1]上是增函数.答案:(-∞,-1],[0,1]10.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是.解析:因为不等式x2+mx+4<0对x∈(1,2)恒成立,所以mx<-x2-4对x∈(1,2)恒成立,即m<-(x+)对x∈(1,2)恒成立,令y=x+,则函数y=x+在x∈(1,2)上是减函数.所以40,ac=412.(2018·浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.解析:当λ=2时,f(x)=其图象如图(1).由图知f(x)<0的解集为(1,4).若f(x)=恰有2个零点有两种情况:①二次函数有两个零点,一次函数无零点;②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y=x-4与y=x2-4x+3的图象,如图(2),平移直线x=λ,可得λ∈(1,3]∪(4,+∞).答案:(1,4)(1,3]∪(4,+∞)13.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是.解...
