第十三节定积分与微积分基本定理(理)时间：45分钟分值：100分一、选择题1．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S13>S1>S2.故选B.答案B2．(2014·河南联考)已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx等于()A．3B．4C．3.5D．4.5解析答案C3．如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积1是()A.B.(x2－1)dxC.|x2－1|dxD.(x2－1)dx＋(x2－1)dx解析面积S＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx，故选C.答案C4．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A.B.C.D.解析答案B5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2解析令v(t)＝0,7－3t＋＝0∴3t2－4t－32＝0，∴t＝4，则汽车行驶的距离为v(t)dt＝dt＝＝7×4－×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.答案C26．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为()A.B.C.D.解析答案C二、填空题7．若x2dx＝9，则常数T的值为________．解析∵x2dx＝＝＝9，∴T＝3.答案38．计算：(x2＋)dx＝______.解析(x2＋)dx＝x2dx＋dx＝＋π＝＋.答案＋9．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．解析设直线为y＝kx＋b，代入A，B两点，得y＝10x.代入B，C两点，则∴k＝－10，b＝10.∴f(x)＝∴y＝xf(x)＝3答案三、解答题10．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．解∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由(ax＋b)dx＝5，得＝a＋b＝5.①由xf(x)dx＝，得(ax2＋bx)dx＝.即＝.∴a＋b＝.②解①②，得a＝4，b＝3.∴f(x)＝4x＋3.于是dx＝dx＝(4＋)dx＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.(1)求常数a，b的值；(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．解(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，即解得(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.作出曲线y＝x3－3x的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为41．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝解析∵∴－cos＋cosφ＝0.∴cos－cosφ＝0.∴sinφ－cosφ＝0.∴sin＝0.∴φ－＝k1π(k1∈Z)．∴φ＝k1π＋(k1∈Z)．∴f(x)＝sin(k1∈Z)．由x－k1π－＝k2π＋(k1，k2∈Z)，得x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z)，∴f(x)的对称轴方程为x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z)．故x＝为函数f(x)的一条对称轴．答案A2．(2014·湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)·g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3解析对于①，sinx·cosxdx5答案C3．曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．解析答案e2e64．如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解(1)由f(x)＝，∴f′(x)＝.又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝，因此切线方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2,0)．在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，∴点B(－2,0)．7
VIP
