第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积A级基础通关一、选择题1．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.πR3B.πR3C.πR3D.πR3解析：设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，由2πr＝πR，得r＝，因此h＝＝R.所以V圆锥＝πr2·h＝π··R＝πR3.答案：B2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．答案：C3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．8＋3πB．8＋4π1C．8＋5πD．8＋6π解析：由题图可知，几何体为半圆柱挖去半球体，几何体的表面积为2××4＋π＋2×4－π＋＝8＋6π.答案：D4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A．18B．18C．18D.解析：在俯视图Rt△ABC中，作AH⊥BC交于点H.由三视图的意义，则BH＝6，HC＝3，根据射影定理，AH2＝BH·HC，所以AH＝3.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH＝3，故侧视图的面积S＝6×3＝18.答案：C5．(2019·青岛二中检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．4C.D.解析：由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2，故几何体体积V＝23－×2×2×1＝6.2答案：A6．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.C.D.解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．所以r＝＝.所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.答案：B二、填空题7．(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________．解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，所以VEBCD＝×ab×c＝abc＝10.答案：108．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V＝×(1＋2)×2×2＝6.答案：639．(2017·北京卷改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．解析：根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝＝2.答案：210．(2019·惠州调研)已知一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝10，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于点P，则三棱锥PDEF的外接球的表面积为________．解析：三棱锥P-DEF中，PD2＋PF2＝CD2＋CF2＝DF2，所以∠DPF＝90°，且DF2＝102＋(5)2＝150.又∠DEF＝90°，所以DF的中点为三棱锥PDEF的外接球的球心，则2R＝DF，故球的表面积S＝4πR2＝150π.答案：150πB级能力提升11．(2019·雅礼中学质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()4A.B．5C.D．π解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中圆锥的底面半径为1，高为2，体积为××π×12×2＝；球的半径为1，体积为×π×13＝.所以该几何体的体积V＝＋＝.答案：C12．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d...
