第4讲数列求和一、选择题1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为()A．120B．70C．75D．100解析因为＝n＋2，所以的前10项和为10×3＋＝75.答案C2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A．9B．8C．17D．16解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案A3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案B4．(2017·高安中学模拟)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于()A．5B．6C．7D．16解析根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.答案C5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N＋)，则S2016＝()A．22016－1B．3·21008－3C．3·21008－1D．3·21007－2解析a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，∴S2016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2015＋a2016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2016)＝＋＝3·21008－3.故选B.答案B二、填空题6．(2016·上饶模拟)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．解析由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为－n＝2n＋1－2－n.答案2n＋1－2－n7．(2016·宝鸡模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.解析由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝1＋10×＝6.答案68．(2017·安阳二模)已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.解析由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1.答案4n－1三、解答题9．(2016·北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由得∴bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.10．(2017·铜川一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N＋)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.解(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，所以an＝an－1(n≥2)．故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．故an＝·n－1＝2·n(n∈N＋)．(2)因为1－Sn＝an＝n.所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，因为＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝.11．(2016·郑州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2016中，有理数项的项数为()A．42B．43C．44D．45解析an＝＝＝－.所以Sn＝1－＋＋＋…＋＝1－，因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3,8,15，…的通项公式为n2－1(n≥2)，所以n2－1≤2016，且n≥2，所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43....
