第5节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用4,5,6,8,10抛物线的标准方程及应用1,2,3直线与抛物线的位置关系7,12,14抛物线的综合应用9,11,13基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·重庆南开中学月考)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为(C)(A)(B)(C)2(D)4解析:焦点到准线的距离d=p=2.故选C.2.(2017·四川巴中一诊)若坐标原点到抛物线y=mx2的准线的距离为2,则m等于(D)(A)8(B)±8(C)±(D)±解析:将其化为标准方程:x2=y,所以||=2m=⇒±,故选D.3.(2016·陕西西安质检)若抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(A)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:因为2p=1,故=,而|AF|=x0+=x0,解之得x0=1,故选A.4.(2017·河南百校联盟质检)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则A点到原点的距离为(B)(A)3(B)4(C)4(D)4解析:设A(x,y),则=⇒=y=4⇒或y=1(舍),所以A(4,4)到原点的距离为4,选B.5.(2017·湖北黄石调研)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为,则|AB|等于(D)(A)(B)(C)5(D)解析:|AB|=|AF|+|BF|=(xA+1)+(xB+1)=(xA+xB)+2=+2=.故选D.6.(2016·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y=x2上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点(C)(A)(0,2)(B)(0,-3)(C)(0,3)(D)(0,6)解析:直线y+3=0是抛物线x2=12y的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y=-3的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3).7.(2017·重庆巴蜀中学月考)已知抛物线y2=4x焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B,O为坐标原点,若△AOB的面积为4,则|AB|等于(D)(A)6(B)8(C)12(D)16解析:设A(,y1),B(,y2),F(1,0),所以=y⇒1y2=-4,由△AOB的面积为4得×|y1-y2|×1=4⇒+=56,因此|AB|=+2=16,选D.8.(2016·豫南九校联考)已知点P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7),则|PA|+|PQ|的最小值为(C)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=10-1=9.当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立,则|PA|+|PQ|的最小值为9.故选C.9.导学号18702477已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,双曲线x2-=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=.解析:抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离d=1+=5,所以p=8,抛物线方程为y2=16x,设点M(1,4),点A(-1,0),kAM==2,所以-=-,即a=.答案:10.(2016·山西忻州模拟)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是.解析:由题意知,圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),半径为1,抛物线的焦点为F(1,0),根据抛物线的定义,点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点F的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1=-1.答案:-1能力提升练(时间:15分钟)11.导学号18702478设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为R,过抛物线C上一点P作准线l的垂线,垂足为Q,若△QRF的面积为2,则点P的坐标为(A)(A)(1,2)或(1,-2)(B)(1,4)或(1,-4)(C)(1,2)(D)(1,4)解析:设点P的坐标为(x0,y0),因为△QRF的面积为2,所以×2×|y0|=2,即|y0|=2,所以x0=×4=1,所以点P的坐标为(1,2)或(1,-2).故选A.12.(2017·湖北襄阳月考)已知直线l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且A,B两点在抛物线C准线上的射影分别是M,N,若|AM|=2|BN|,则k的值是(C)(A)(B)(C)(D)2解析:设B(x,y),直线y=k(x+1)过定点(-1,0),由|AM|=2|BN|得A(2x+1,2y),所以解得k==.故选C.13.(2017·湖南长沙摸底测试)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x2-y2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.解析:抛物线准线为y=-,代入双曲线得|x|=,焦点F(0,),故=,解得p=2.答案:214.导学号18702479已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若=3,求直线AB的斜率;(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.解:(1)依题意可设直线AB:x=my+1,联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),...
