考点12柱体、锥体、台体的体积1．棱柱的体积公式为V柱体＝Sh，(S为柱体底面积，h为柱体的高)，．2．若一个棱锥的底面积为S，高为h，则它的体积是V锥体＝13Sh，3．若一个台体上、下底面的面积分别为S′、S，高为h，则它的体积公式为V台体＝13h(S＋＋S′)，4．圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为圆柱的高)．5．圆锥的底面半径为r，高为h，则它的体积为V圆锥＝13πr2h．6．若圆台上、下底面半径分别为r′、r，高为h，则它的体积为V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)．【例】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由题意，V＝13(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3．2．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为()A．288πcm3B．192πcm3C．288πcm3或192πcm3D．192πcm3【答案】C【解析】圆柱的高为8cm时，V＝π×122π2×8＝288πcm3．当圆柱的高为12cm时，V＝π×82π2×12＝192πcm3．【解题技巧】圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．3．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为()A．281πB．881πC．581πD．1081π【答案】C【思路方法】计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．4．如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．(单位：cm)【解析】由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，1．若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为()A．112B．5C．92D．4【答案】D【解析】易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底＝1×2＋4×12×1×1＝4，高为1，故此几何体的体积V＝4×1＝4．2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．16B．13C．12D．1【答案】A【解析】由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h＝1，又底面积S＝12×1×1＝12．所以体积V＝13Sh＝16．3．已知四棱锥P－ABCD的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．【答案】23．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B
