专题限时集训(五)数列的通项与求和[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝()A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2n－2A[由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.]2．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝()【导学号：04024063】A.B.C.5D．6A[因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故选A.]3.＋＋＋…＋的值为()A.B.－C.－D.－＋C[ ＝＝＝，∴＋＋＋…＋＝＝＝－.]4．(2017·广州二模)数列{an}满足a2＝2，an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100＝()A．5100B．2550C.2500D．2450B[由an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，可得a1＋a3＝a3＋a5＝a5＋a7＝…＝0，a4－a2＝a6－a4＝a8－a6＝…＝2，由此可知，数列{an}的奇数项相邻两项的和为0，偶数项是首项为a2＝2、公差为2的等差数列，所以S100＝50×0＋50×2＋×2＝2550，故选B.]5．(2017·呼和浩特一模)等差数列{an}中，a2＝8，前6项的和S6＝66，设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，则Tn＝()A．1－B．1－C.－D.－D[由题意得解得所以an＝2n＋4，因此bn＝＝＝－，所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－，故选D.]二、填空题6．(2016·西安模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________.【导学号：04024064】[ an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时， 4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝＝×＝.]7．(2017·东北三省四市联考)《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”意思：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．15斤[由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a1＝4，a5＝2，则S5＝＝15，故金箠重15斤．]8．(2016·广州二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．[解](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，2分a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．4分又由题设可得a1＝2，满足上式，所以{an}的通项公式为an＝．6分(2)记的前n项和为Sn.由(1)知＝＝－，9分则Sn＝－＋－＋…＋－＝．12分10．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.【导学号：04024065】[解](1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②2分①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．6分在①中，令n＝1，得a1＝，满足an＝，所以an＝(n∈N*)．6分(2)由(1)知an＝，故bn＝＝n×3n.则Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④8分③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，11分所以Sn＝＋(n∈N*)．12分[B组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于()A.B．C.D.B[y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，∴bn＝，∴T10＝1－＝，故选B.]2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“...
