第2节平面向量基本定理及其坐标表示【选题明细表】知识点、方法题号平面向量基本定理及其应用3,7,11,12,15平面向量的坐标表示及运算1,8共线向量的坐标表示2,4,9综合问题5,6,10,13,14,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·三明一中月考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于(D)(A)(5,7)(B)(5,9)(C)(3,7)(D)(3,9)解析:2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).故选D.2.(2016·青岛质量检测)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的(A)(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b)得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.故选A.3.(2016·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则向量等于(C)(A)+(B)+(C)+(D)+解析:如图,因为=2,所以=+=+=+(-)=+.故选C.4.(2016·广东揭阳模拟)设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a-λb与向量c=(-5,-6)共线,则λ的值为(A)(A)(B)(C)-(D)4解析:由已知得a-λb=(1-2λ,2-3λ),因为向量a-λb与向量c=(-5,-6)共线,所以(1-2λ)×(-6)-(2-3λ)×(-5)=0,解得λ=.故选A.5.(2016·南昌十校联考)已知a=(,1),若将向量-2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b,则b的坐标为(B)(A)(0,4)(B)(2,-2)(C)(-2,2)(D)(2,-2)解析:因为a=(,1),所以-2a=(-2,-2),易知向量-2a与x轴正半轴的夹角α=150°(如图).向量-2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b,在第四象限,与x轴正半轴的夹角β=30°,所以b=(2,-2).故选B.6.(2016·安徽“江淮十校”联考)在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,S为△ABC的面积.若向量p=(S,a+b+c),q=(a+b-c,1)满足p∥q,则tan等于(D)(A)(B)(C)2(D)4解析:由p∥q得S=(a+b)2-c2=2ab+a2+b2-c2,即absinC=2ab+2abcosC,即sinC=1+cosC,sin·cos=2cos2,所以tan=4.故选D.7.(2016·日照模拟)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(B)(A)a+b(B)a+b(C)a+b(D)a+b解析:如图,因为△DEF∽△BEA,所以DF∶BA=DE∶BE=1∶3,过点F作FG∥BD交AC于点G,所以FG∶DO=2∶3,CG∶CO=2∶3,所以=b,因为=+==a,所以=+=a+b.故选B.8.(2016·烟台模拟)已知a=(1,-2),a+b=(0,2),则|b|=.解析:设b=(x,y),则a+b=(1,-2)+(x,y)=(x+1,y-2)=(0,2),所以⇒所以b=(-1,4),|b|==.答案:9.(2016·德阳校级月考)已知向量=(k,11),=(4,5),=(5,8),且A,B,C三点共线,则k=.解析:因为向量=(k,11),=(4,5),=(5,8),所以=(4-k,-6),=(1,3),因为A,B,C三点共线,不妨设=λ,所以(4-k,-6)=λ(1,3),所以解得k=6.答案:610.导学号18702225已知A(-3,0),B(0,),O为坐标原点,C在第二象限,且∠AOC=30°,=λ+,则实数λ的值为.解析:由题意知=(-3,0),=(0,),则=(-3λ,),由∠AOC=30°知,以x轴的非负半轴为始边,OC为终边的一个角为150°,所以tan150°=,即-=-,所以λ=1.答案:111.如图,在▱OADB中,=,=,设=a,=b,试用a,b表示,,.解:因为=-=a-b,所以==a-b,所以=+=a+b.又因为=a+b,所以=+=+==a+b,所以=-=a+b-a-b=a-b.能力提升练(时间:15分钟)12.如图,在△ABC中,=,=,若=λ+μ,则λ+μ的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为=+,=,所以=+,因为=-,=,所以=-,所以=+=+(-)=+,因为=λ+μ,所以λ=,μ=,则λ+μ=+=.13.(2016·广东江门质检)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是(B)(A)1(B)(C)(D)2解析:因为点C在以O为圆心的圆弧上,所以||2=|x+y|2=x2+y2+2xy·=x2+y2=1≥,所以x+y≤.当且仅当x=y=时等号成立.故选B.14.设O在△ABC的内部,且有+2+3=0,则△ABC的面积和△AOC的面积之比为.解析:设AC,BC的中点分别为M,N,则已知条件可化为(+)+2(+)=0,即2+4=0,所以=-2,说明M,O,N三点共线,即O为中位线MN上的一个三等分点,S△AOC=S△ANC=×S△ABC=S△ABC,所以=3.答案:315.导学号18702226若点M是△ABC所在平面内一点,且满足=+.(1)求△ABM与△ABC的面积之比.(2)若N为AB中点,AM与CN交于点O,设=x+y,求x,y的值.解:(1)由=+,可知M,B,C三点共线.如图令=λ得=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,所以λ=,所以=,即面积之比为1∶4.(2)由=x+y得=x+,=+y,由O,M,A三点共...
