2.2抛物线的简单性质[A组基础巩固]1．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和p的值分别为()A．9,2B．1,18C．9,2或1,18D．9,18或1,2解析：因为点M到对称轴的距离为6，所以不妨设M(x0,6)．因为点M到准线的距离为10，所以，解得或，故选C.答案：C2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.答案：C3．过点M(2,4)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线的条数是()A．1B．2C．3D．0解析：点M(2,4)是抛物线上的点，所以直线l有两条，一条是切线，另一条是平行于抛物线的对称轴的直线．答案：B4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.解析： |AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.答案：C5．连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为()A．－1＋B.－C．1＋D.＋解析：由题意得F的坐标为(0,1)．又M(1,0)，故线段MF的方程为x＋y＝1(0≤x≤1)．解得交点A的坐标为(2－2，3－2)．∴S＝×1×(3－2)＝－.1答案：B6．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.∴|y|＝＝＝|a|.由于通径长为6，即2|a|＝6，∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.答案：y2＝±6x7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析： F(，0)，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.答案：28．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM＝MB，则p＝________.解析：如图，由AB的斜率为，知∠BMx＝60°，又AM＝MB，∴M为AB的中点．过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.∴|BP|＝|AB|＝|BM|.∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.答案：29．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ>1)，求λ的值．解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝λFB⇒(－x1，－y1)＝λ(x2－，y2)，故－y1＝λy2⇒λ＝－，联立直线与抛物线方程，消元得：y2－py－p2＝0，∴y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，因此＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－，∴λ＝4(λ>1)．10．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若△OAB的面积为，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得，化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝|x1－x2|＝·，由点到直线的距离公式得d＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝＝，解得k＝±.(2)证明：由(1)可得kOA＝，kOB＝，kOA·kOB＝. y＝－x1，y＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，2∴kOA·kOB＝，又，得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，∴以弦AB为直径的圆必过原点．[B组能力提升]1．如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是点M，N，若|AM|＝2|BN|，则实数k的值是()A.B.C.D．2解析：设B(x1，y1)，则由|AM|＝2|BN|，得A(2x1＋1,2y1)．由，解得或(不合题意，舍去)，所以B.又直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，所以k＝＝.故选C.答案：C2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于()A．4B．8C．8D．16解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.答案：B3．平面上一机器人在进行中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点...
