高中数学对一道课本例题的探讨专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学对一道课本例题的探讨全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》（人教版）第二册（上）P106的例3是一道好题，请同学们在学习时注意总结。题目：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s。（1）爆炸点应在什么曲线上？（2）已知A、B两处相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程。解：（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为一定值，因此，爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应选靠近B处的一支上。（2）如下图，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合。不妨设爆炸点P的坐标为xy，，则PAPB3402680即2680340aa，又AB800，所以280040044400222ccbca，，PAPB6800所以x0，所求双曲线的方程为xyx221156004440010()以上课本中的解答存在下面问题：我们知道，平面内与两个定点FF12、的距离的差的绝对值等于常数（小于FF12）的点的轨迹叫做双曲线。注意，定义中“动点P到两个定点FF12、的距离的差的绝对值等于常数，即PFPFaa1220”是“动点P的轨迹是双曲线”的必要而非充分条件。所以，例题中“A、B两处与爆炸点的距离的差为2v声”是“爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上”的必要而非充分条件。因此，解答（1）中由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此，爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上的说法有所不妥。由双曲线定义知，动点P到两个定点FF12、的距离的差的绝对值等于常数，且小于两个定点FF12、间的距离，即PFPFFF1212才是动点P的轨迹是双曲线的充要条件。因此，第一问中，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，说明爆炸点距A处较远，且距B处较近，爆炸点到A处的距离与它到B处的距离的差是常数，但题意未说这个常数是否小于A、B两处的距离。因此，爆炸点还有可能在线段AB的延长线上或无轨迹。不能认为A、B间的距离大于爆炸点与A、B两点的距离的差，而作出“爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上”的结论。第一问应分类讨论如下：用心爱心专心解：设爆炸点为P，由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，PAPBv2声。①当ABv2声，即A、B两地间的距离大于A、B两处与爆炸点的距离的差时，根据双曲线定义知，爆炸点应位于以点A、B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上。②当ABv2声，即A、B两处间的距离等于A、B两处与爆炸点的距离的差时，而依题意知在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s。因此，爆炸点在以B为端点，以点A到B为方向的射线上。③当ABv2声，即A、B两处间的距离小于以A、B两处与爆炸点的距离的差时，而在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，这样的爆炸点P无轨迹（不存在）。综上所述，爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线靠近B处的一支上；或在以B为端点，以点A到B为射线方向的射线上。通过对本例题的探讨，可见在解答数学问题时，回归到基本概念是非常重要的。用心爱心专心