10.2.2复数的乘法与除法关键能力·素养形成类型一复数的乘法【典例】计算下列各题.(1)(1-i)(1+i)+(-1+i).(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i).【思维·引】根据复数乘法的运算法则计算,注意应用乘法公式.【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.【类题·通】1.两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开.(2)再将i2换成-1.(3)然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式.2.常用公式(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).(3)(1±i)2=±2i.【习练·破】计算:(1+i)【解析】(1+i)=(1+i)=(1+i)=+i=-+i.类型二复数的除法【典例】计算:(1).(2).世纪【思维·引】分母实数化可得运算结果.【解析】(1)方法一:===-2+i.方法二:=====-2+i.(2)======1-i.【类题·通】复数乘除法的计算技巧(1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.(2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.【习练·破】1.(2019·全国卷Ⅰ)设z=,则|z|=()A.2B.C.D.1【解析】选C.因为z=,所以z==-i,所以|z|==,故选C.2.(2019·安阳高二检测)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z为()A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5i【解析】选A.因为z(2-i)=11+7i,所以z====3+5i.类型三i的运算性质【典例】计算:(1)+.(2)i+i2+…+i2021.世纪【思维·引】利用i的乘方的周期性计算.【解析】(1)原式=+=i(1+i)+(-i)1010=i+i2+(-1)1010·i1010=i-1+i4×252+2=i-1-1=i-2.(2)方法一:原式=======i.方法二:因为in++in+2+in+3=in(1+i+i2+i3)=0(n∈N*),所以原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)+i2021=i2021=(i4)505·i=1505·i=i.【类题·通】i的运算性质的应用(1)i的周期性要记熟,即in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).(2)记住以下结果,可提高运算速度①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;②=-i,=i;③=-i.【习练·破】i2021=()A.iB.-1C.-iD.1【解析】选A.i2021=i·i2020=i·=i.类型四实系数一元二次方程在复数范围内的解集【典例】(1)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1(2)已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,则实数k的值为________.世纪【思维·引】(1)利用根与系数的关系求解;(2)设方程的实数根,利用复数相等的条件求解.【解析】(1)选B.实系数方程虚根成对,所以1-i也是一根,所以b=-2,c=1+2=3.(2)设x0是方程的实数根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件得解得或所以k的值为-2或2.答案:±2【类题·通】解决实系数一元二次方程问题的注意点(1)和在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.(2)解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.【习练·破】已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p,q的值.【解析】由根与系数的关系可得即因为p,q均为实数,所以解得从而有【加练·固】已知复数z1满足z1-4=(3-2z1)i(i为虚数单位),z=+|z1-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.【解析】由题意,得z1(1+2i)=4+3i,所以z1==2-i,所以z=+|-i|=3+i.若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根=3-i.因为z+=6,z·=10,所以所求的一个实系数一元二次方程可以是x2-6x+10=0.
