题组层级快练(五十六)(第一次作业)1．(2015·合肥一检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°答案B解析连接A1D，DC1，A1C1， E，F为A1D，A1C1中点，∴EF∥C1D.∴EF和CD所成角即为∠C1DC＝45°.2．(2015·济宁模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1，CM〉的值等于()A.B.C.D.答案B解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD＝1，∴DB1＝(1,1,1)，CM＝(1，－，0)．∴cos〈DB1，CM〉＝＝.∴sin〈DB，CM〉＝.3.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°答案B解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，∴C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)．∴EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)．∴EF·BC1＝2，记EF，BC1所成角为θ.1∴cosθ＝＝.∴EF和BC1所成角为60°.4．(2015·沧州七校联考)已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案D解析取AC中点E，令AB＝2，分别以EB，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系．B1(，0,2)，C(0,1,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,2)，DB1＝(，0,0)，DC＝(0,1，－2)，DA＝(0，－1，－2)，平面B1DC法向量为n＝(0,2,1)，∴cos〈DA，n〉＝－.∴AD与面B1DC所成的角正弦值为.5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案C解析连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1.连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求，OC1＝A1C1＝AC＝2，BC1＝＝2.计算得sin∠C1BO＝＝.6．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析以A点为坐标原点，AP，AB，AD分别为x，y，z轴建系且设AB＝1，∴C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．∴设面CDP的法向量为n＝(x，y，z)．∴令y＝1，∴n＝(0,1,1)．又 AD为面ABP的一个法向量，∴cos〈n，AD〉＝＝＝.∴二面角为45°.7．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()A.B.C.D.答案B解析以正三棱锥O－ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．2侧面OAB的法向量为OC＝(0,0,1)，底面ABC的法向量为n＝(，，)．∴cos〈OC，n〉＝＝＝.8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A.B.C.D.答案D解析方法一：由VB1－ABF＝VF－ABB1可得解．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)．设F(0,0，)，E(，1,1)，B(1,1,1)，AB＝(0,1,0)．∴B1E＝(－，0,1)，AF＝(－1,0，－)． AF·B1E＝(－1,0，－)·(－，0,1)＝0，∴AF⊥B1E.又AB⊥B1E，∴B1E⊥平面ABF.平面ABF的法向量为B1E＝(－，0,1)，AB1＝(0,1，－1)．B1到平面ABF的距离为＝.9.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．答案(1,1,1)解析连接AC，BD交于O，连接OE，cos〈DP，AE〉＝，∴cos∠AEO＝.又 OA＝，∴OE＝1，∴E为(1,1,1)．10．如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝32BC，EA⊥EB.(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．答案(1)略(2)解析(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EB＝EA，所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.所以AB⊥平面EOD.因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED.(2)方法一：因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角．设BC＝a，则AB＝2a，BE＝a，所以CE＝a.则在直角三角形CBE中，sin∠CEB＝＝...
