第9讲三角恒等变换与解三角形题型一|三角变换与求值(1)求值：＝________.(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．(3)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________．[解题指导](1)利用10°＝30°－20°，然后利用三角恒等变换求解．(2)化2α＋为2－是关键．(3)利用(2α－β)－(α－2β)＝α＋β，求出cos(α＋β)的值．(1)(2)(3)[(1)由题意得：＝＝＝.(2) α为锐角且cos＝，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.(3) cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，∴sin(2α－β)＝. sin(α－2β)＝且－<α－2β<，∴cos(α－2β)＝.∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)＝－×＋×＝. <α＋β<，∴α＋β＝.]【名师点评】三角恒等变换的基本思路1．“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等；“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”；2．角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等．1．设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________.[依题意得sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)，注意到>>－，所以cos(α＋β)＝－.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.]2．(2016·苏锡、常镇调研二)若tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.【导学号：19592029】－[ tan(α－β)＝－，∴tan(β－α)＝.∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－.]3．已知3tan＋tan2＝1，sinβ＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝________.－[ 3tan＋tan2＝1，∴tanα＝＝，由sinβ＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]．即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα＋3cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝－2tanα＝－.]4．已知sin2α＝，则cos2＝________.[cos2＝＝＝.]题型二|利用正、余弦定理解三角形(1)(2014·江苏高考)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．(2)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为________三角形．[解题指导](1)利用正弦定理得a＋b＝2c，然后利用余弦定理及均值不等式求解．(2)2acosB＝c――→得角的关系――→sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋――→求sinA―→判断三角形的形状(1)(2)等腰直角[(1)由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋b＝2c.由余弦定理得cosC＝＝＝≥＝，所以≤cosC<1，故cosC的最小值为.(2)依题意得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，2sinAcosB－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋＝，解得sin2A＝，因此sinA＝，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角形．]【名师点评】解三角形的四种类型及求解方法：(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解．1．在△ABC中，若a＝2，B＝60°，b＝，则c＝________.3[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得7＝4＋c2－2c，解得c＝3，或c＝－1(舍去)．]2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．[因为a＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC可化为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝＝＝.又0
