高考数学复习点拨 数形结合解恒成立问题VIP专享VIP免费

数形结合解恒成立问题数形结合思想能够变抽象思维为形象思维，将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，常用巧妙地解决貌似困难繁琐的问题，达到事半功倍的目的．1．构造二次函数，以形助数．例1若不等式20xxk对任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．分析：不等式20xxk对任意的实数x恒成立，等价于二次函数2()fxxxk的图象与x轴没有交点．解：因为不等式20xxk对任意的实数x恒成立，所以140k，解得14k．所以k的取值范围是1|4xx．评注：若将题目中的不等式改为210kxkx，则需对二次项系数分等于零和不等于零两种情况进行讨论，这一点容易被忽视．2．考虑几何意义，简捷明了．例2对一切实数x，若52xxa恒成立，求实数a的取值范围．分析：充分考虑绝对值的几何意义，从距离关系上分析52xx的几何意义．解：根据绝对值的几何意义，5x可看作点()Px到点(5)B的距离，2x可看作点()Px到点(2)A的距离，如下图所示：由于7AB，因此当点P在线段AB上时，一定有7PAPBAB；当点P在线段AB的延长线上或在BA的延长线上时，一定有PAPBAB7，即数轴上任一点到AB，两点的距离之和都大于等于7．所以要使52xxa恒成立，必有7a，即实数a的取值范围为用心爱心专心|7aa．评注：数形结合是数学中的一种基本思想方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这时高中数学的学习是极为有益的．用心爱心专心