第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理一、填空题1.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________．答案：55解析：因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.2.我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，则第n个正方形数是________．答案：n2解析： 1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，…∴由此可推得第n个正方形数是n2.3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝____________．答案：－g(x)解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．4.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4(从左至右)出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，…，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为________．答案：194解析：前19行共有＝190(个)数字⇒第19行最左端的数为190⇒第20行从左到右第4个数字为194.5.观察等式：＝，＝1，＝.照此规律，对于一般的角α，β，有等式____________________．答案：＝tan解析：等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故＝tan.6.已知命题：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是____________．答案：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线－＝1(m>0，n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e，则＝解析：由正弦定理和椭圆定义可知＝＝，类比双曲线应有＝＝.7.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________．答案：解析：设1＋2＋4＋…＋2n－1＝1023，即＝1023，解得n＝10.正方形边长构成数列，，，…，，从而最小正方形的边长为＝.8.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为________．135791113151719212325272931…答案：8091解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.9.已知“整数对”按如下规律排成一行：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是________．答案：(5，7)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．10.已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，点G是△ABC外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若点M是△BCD的三边中线交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝__________”．答案：3解析：如图，设四面体ABCD的棱长为a，则由M是△BCD的重心，得BM＝a，AM＝a.设OA＝R，则OB＝R，OM＝a－R，于是由R2＝＋，解得R＝a.所以＝＝3.11.某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)答案：a，b解析：由解锁图案的设计规则可知，构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线路的作用．a，b...
