2.1.2椭圆的简单几何性质一、选择题1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8[答案]D[解析]由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为()A．B．C．D．[答案]A[解析]由题意，得a＝2c，∴e＝＝.3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1[答案]B[解析]椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，)，(0，－)， b＝2，∴a2＝25，故选B．4.如图，经过点P1，P2，P3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为e1，e2，e3，则()A．e3b>0)上一点P作x轴的垂线，恰好通过椭圆的一个焦点F1，此时椭圆与x轴交于点A，与y轴交于点B，所确定的直线AB与OP平行，求离心率e的值．[解析]设P点的坐标为(x，y)(y>0)，由题意可得x＝－c，代入椭圆的方程可得y＝，∴P点的坐标为(－c，)，∴kOP＝－.又 A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝－. OP∥AB，∴kAB＝kOP，即－＝－，∴b＝c，∴a＝＝＝c，∴e＝＝.一、选择题1．(2015·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为()A．＋＝1或＋＝1B．＋＝1C．＋＝1或＋＝1D．＋＝1或＋＝1[答案]C[解析]由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1[答案]C[解析]根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.3．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为()A．1B．C．2D．2[答案]D[解析]由，得(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，∴椭圆的长轴长为2.4.(2015·抚顺二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝()A．B．C．D．[答案]C[解析]设|AB|＝x>0，则|BC|＝x，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝x2＋x2－2x2·(－)＝x2，∴|AC|＝x，由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，∴x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝＝＝＝.二、填空题5．若椭圆的一个焦点将其长轴分成两段，则椭圆的离心率为________.[答案]5－2[解析]椭圆的一个焦点将其长轴分成a＋c与a－c两段，∴＝，∴(－)a＝(＋)c，∴e＝＝5－2.6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，则椭圆的方程是________.[答案]＋＝1[解析]如图所示，cos∠OF2A＝cos60°＝，即＝.又a－c＝，∴a＝2，c＝，∴b2＝(2)2－()2＝9.∴椭圆的方程是＋＝1.三、解答题7．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝，求椭圆的方程．[解析]由题意，得，∴a＝4，c...
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