考点17正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理1．正弦定理在ABC△中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabc==ABC.正弦定理对任意三角形都成立．2．常见变形（1）sinsinsin,,,sinsin,sinsin,sinsin;sinsinsinAaCcBbaBbAaCcAbCcBBbAaCc（2）;sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabacbcabcABCABACBCABC（3）::sin:sin:sin;abcABC（4）正弦定理的推广：===2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC△的外接圆的半径.3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在ABC△中，已知，和A时，三角形解的情况1二、余弦定理1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos,2cos2cos.abcbcAbacacBcababC，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos,cos,cos222bcacababcABCbccaab.3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．4．利用余弦定理解三角形的步骤2三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12Sah(h为BC边上的高)；（2）111sinsinsin222SbcAacBabC；（3）1()2Srabc(为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.3①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；学.②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.4（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC△中，πABC，其变式有：πABC，π222ABC等．（2）三角形中的三角函数关系：iin(sns)ABC；()soscocABC；sincos22ABC；cossin22ABC.典例1ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，1a，则b=.【答案】2113【解析】因为45cos,cos513AC，且,AC为ABC△的内角，所以312sin,sin513AC，63sinsin[π()]sin()sincoscossin65BACACACAC，又因为sinsinabAB，所以sin21sin13aBbA.典例2在ABC△中，已知2AB，3,60.ACA（1）求BC的长；（2）求sin2C的值.5因此212743sin22sincos2.777CCC1．已知A、B、C为ABC△的内角，tanA、tanB是关于的方程2310()xpxppR的两个实根.（1）求C的大小；（2）若3AB，6AC，求p的值.考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用...
