第11课时：第二章函数——函数的奇偶性一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义；2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．()fx为偶函数()(||)fxfx．4．若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f．（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0fxfx，()1()fxfx．4．设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．5．注意数形结合思想的应用．（三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）1()(1)1xfxxx；（2）22lg(1)()|2|2xfxx；（3）22(0)()(0)xxxfxxxx．解：（1）由101xx，得定义域为[1,1)，关于原点不对称，∴()fx为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20xx得定义域为(1,0)(0,1)，∴22lg(1)()(2)2xfxx22lg(1)xx，用心爱心专心1∵2222lg[1()]lg(1)()()xxfxxx()fx∴()fx为偶函数（3）当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx，当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx，综上所述，对任意的(,)x，都有()()fxfx，∴()fx为奇函数．例2．已知函数()fx对一切,xyR，都有()()()fxyfxfy，（1）求证：()fx是奇函数；（2）若(3)fa，用a表示(12)f．解：（1）显然()fx的定义域是R，它关于原点对称．在()()()fxyfxfy中，令yx，得(0)()()ffxfx，令0xy，得(0)(0)(0)fff，∴(0)0f，∴()()0fxfx，即()()fxfx，∴()fx是奇函数．（2）由(3)fa，()()()fxyfxfy及()fx是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa．例3．（1）已知()fx是R上的奇函数，且当(0,)x时，3()(1)fxxx，则()fx的解析式为33(1),0()(1),0xxxfxxxx．（2）（《高考A计划》考点3“智能训练第4题”）已知()fx是偶函数，xR，当0x时，()fx为增函数，若120,0xx，且12||||xx，则（B）A.12()()fxfxB.12()()fxfxC.12()()fxfxD.12()()fxfx例4．设a为实数，函数2()||1fxxxa，xR．（1）讨论()fx的奇偶性；（2）求()fx的最小值．解：（1）当0a时，2()()||1()fxxxfx，此时()fx为偶函数；当0a时，2()1faa，2()2||1faaa，用心爱心专心2∴()(),()(),fafafafa此时函数()fx既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当xa时，函数2213()1()24fxxxaxa，若12a，则函数()fx在(,]a上单调递减，∴函数()fx在(,]a上的最小值为2()1faa；若12a，函数()fx在(,]a上的最小值为13()24fa，且1()()2ffa．②当xa时，函数2213()1()24fxxxaxa，若12a，则函数()fx在[,)a上的最小值为13()24fa，且1()()2ffa；若12a，则函数()fx在[,)a上单调递增，∴函数()fx在[,)a上的最小值2()1faa．综上，当12a时，函数()fx的最小值是34a，当1122a时，函数()fx的最小值是21a，当12a，函数()fx的最小值是34a．例5．（《高考A计划》考点3“智能训练第15题”）已知()fx是定义在实数集R上的函数，满足(2)()fxfx，且[0,2]x时，2()2fxxx，（1）求[2,0]x时，()fx的表达式；（2）证明()fx是R上的奇函数．（参见《高考A计划》教师用书57P）（四）巩固练习：《高考A计划》考点10智能训练6．五．课后作业：《高考A计划》考点10，智能训练2，3，8，9，10，11，13．用心爱心专心3
