第4讲三角函数的图象与性质[基础题组练]1．函数y＝|cosx|的一个增区间是()A．[－，]B．[0，π]C．[π，]D．[，2π]解析：选D.将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.2．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在上是减少的解析：选D.函数f(x)＝cos的图象可由y＝cosx的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先减后增，D选项错误．3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝cos2xB．f(x)＝tanxC．f(x)＝sinxD．f(x)＝sin2x解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x＝对称．A．f(x)＝cos2x的周期为π，而f＝0不是函数的最值．所以其图象不关于x＝对称．B．f(x)＝tanx的周期为π，但图象不关于x＝对称．C．f(x)＝sinx的周期为2π，不合题意．D．f(x)＝sin2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，所以D满足条件，故选D.4．(2020·河南六市联考)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，则φ为()A.B．－C.D．－解析：选D.因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，所以ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝－，选D.5．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为()A.B．C.D．解析：选C.T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能为.故答案为C.6．函数f(x)＝sin的减区间为________．解析：由已知可得函数为f(x)＝－sin，欲求函数f(x)的减区间，只需求y＝sin的增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．故所求函数f(x)的减区间为(k∈Z)．答案：(k∈Z)7．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.答案：8．已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．解析：因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.答案：9．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x－2.(1)求f(x)的增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故f(x)的增区间为，k∈Z.(2)因为x∈，所以≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.10．已知函数f(x)＝4sin(x－)cosx＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．解：(1)f(x)＝4sin(x－)cosx＋＝4(sinx－cosx)cosx＋＝2sinxcosx－2cos2x＋＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，即函数y＝f(x)与y＝m在[0，]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y＝f(x)＝2sin(2x－)在[0，]上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论...
