【与名师对话】2016版高考数学一轮复习2.13导数的应用（二）随堂训练文1．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数解析：f′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx．当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．答案：D2．函数f(x)＝x＋2cosx在0，上取得最大值时x的值为()A．0B.C.D.解析：由f′(x)＝1－2sinx＝0，得x＝，所以f＝＋.又f(0)＝2,f＝，所以f为最大值．故选B.答案：B3．已知命题p：∃x>0，x≤a＋lnx为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：若命题p为假命题，则綈p：∀x>0，x>a＋lnx为真命题，即当x>0时，x－lnx>a恒成立．设f(x)＝x－lnx，则f′(x)＝1－，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值也是最小值，f(1)＝1－ln1＝1.由不等式x－lnx>a恒成立，可得a<1.答案：(－∞，1)4．已知函数f(x)＝ax－ex(a>0)．(1)若a＝，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；(2)当1≤a≤e＋1时，求证：f(x)≤x.解：(1)当a＝时，f(x)＝x－ex，f(1)＝－e，f′(x)＝－ex，f′(1)＝－e，故函数f(x)在x＝1处的切线方程为y－＋e＝(x－1)，即x－y＝0.(2)证明：令g(a)＝x－f(x)＝－xa＋x＋ex，只需证明g(a)≥0在1≤a≤e＋1时恒成立即可．g(1)＝－x＋x＋ex＝ex>0，①g(1＋e)＝－x·(1＋e)＋x＋ex＝ex－ex.设h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e，当x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0.∴h(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴h(x)≥h(1)＝e1－e×1＝0，即g(1＋e)≥0.②由①②知，g(a)≥0在1≤a≤e＋1时恒成立．故当1≤a≤e＋1时，f(x)≤x.1
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