题组训练57空间向量的应用（二）空间的角与距离第2课时1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1，CM〉的值等于()A.B.C.D.答案B解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD＝1，∴DB1＝(1，1，1)，CM＝(1，－，0)．∴cos〈DB1，CM〉＝＝.∴sin〈DB1，CM〉＝.2．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA1＝2AB＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)．∴BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)．∴cos〈BE，CD1〉＝＝.3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．150°答案C解析设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝，又0°≤θ≤90°.∴θ＝30°.4．(2018·天津模拟)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案C解析由题意，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，∴C1O⊥B1D1.易得C1O⊥平面DBB1D1，∴∠C1BO即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角．在Rt△OBC1中，OC1＝2，BC1＝2，∴直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为，故选C.5.(2018·辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，则直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如图所示，建立空间直角坐标系．则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC＝(－2，2，0)，AD1＝(－2，0，4)，BB1＝(0，0，4)．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝2，则y＝2，z＝1，故n＝(2，2，1)是平面ACD1的一个法向量．设直线BB1与平面ACD1所成的角是θ，则sinθ＝|cos〈n，BB1〉|＝＝＝.故选A.6．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案B解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC为直角三角形．设棱长为1，则有AD＝，B1D＝，DC＝，∴S△B1DC＝××＝.设A到平面B1DC的距离为h，则有VA－B1DC＝VB1－ADC，∴×h×S△B1DC＝×B1D×S△ADC.∴×h×＝××，∴h＝.设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝＝.向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．设各棱长为2，则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)．设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有⇒⇒n＝(0，2，1)．∴sin〈AD，n〉＝＝.7．(2018·山东师大附中模拟，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，点Q在PB上，且满足PQ∶QB＝1∶3，则直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为________．答案解析方法一：如图，过点Q作QH∥CB交PC于点H. DA⊥AB，DC∥AB，∴在Rt△ADC中，AC＝＝. PA⊥平面ABCD，∴在Rt△PAC中，PC＝＝.取AB的中点M，连接CM， DC∥AB，CM＝AD＝，∴在Rt△CMB中，CB＝＝，又PB2＝PA2＋AB2＝16，∴PC2＋CB2＝PB2，∴CB⊥PC. QH∥BC，∴QH⊥PC.① PA⊥CB，∴PA⊥QH.②由①②可得，QH⊥平面PAC，∴∠QCH是直线CQ与平面PAC所成的角． QH＝BC＝，HC＝PC＝，∴CQ＝＝，∴sin∠QCH＝＝.方法二：以A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，)，C(，，0)，B(0，，0)， PQ＝PB，∴Q(0，，)，可知平面PAC的一个法向量为m＝(－1，1，0)，又CQ＝(－，－，)，∴|cos〈m，CQ〉|＝＝，故直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为.8．(2018·上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF＝AE＝1，CE＝，四边形ABCD是正方形．(1)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由．(2)记AB与平面AEC所成的角为θ，求cos2θ的值．答案(1)略(2)解析(1) AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC...
