中档大题满分练3.数列(A组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=a(a∈R),a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)记的前n项和为An,的前n项和为Bn,当n≥2时,判断An与Bn的大小.【解析】(1)设{an}的公差为d,则由a1,a2,a4成等比数列,得a1=a≠0且=a1·a4,所以(a1+d)2=a1(a1+3d).因为d≠0,所以解得d=a1=a,所以an=na.(2)由(1)得Sn=,所以=.所以An==,又因为=2n-1·a,=·,所以Bn==·=.当n≥2时,2n=++…+>1+n>0,即1-<1-,所以,当a>0时,AnBn.2.已知数列{an}满足an+1=2an+2n+1,且a1=2.(1)证明:数列是等差数列.(2)设数列cn=-log2,求数列{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)方法一:-=-=+-=1,且=1.所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列.方法二:由已知,an+1=2an+2n+1两边除以2n+1得=+1,即-=1,又=1.所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)×1=n,故an=n·2n.所以cn=2n-n.所以Sn=c1+c2+c3+…+cn=(21-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n)=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1--2.故数列{cn}的前n项和为Sn=2n+1--2.
