课时跟踪检测(七十四)相似三角形的判定及有关性质1.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求＋的值．解：由平行线分线段成比例定理得＝，＝，故＋＝＋＝＝1.2.如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝，求△DEF的边长．解：设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DE∥BC，则＝＝，所以＝＝，解得x＝.故△DEF的边长为.3.如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F，交CB的延长线于点N.若AE＝2，AD＝6，求的值．解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CNF，∴＝，∴＝.∵M为AB的中点，∴＝＝1，∴AE＝BN，∴＝＝＝.∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴＝＝.4.如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.证明：在△AFH与△GFB中，因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，所以∠H＝∠GBF.因为∠AFH＝∠BFG＝90°，所以△AFH∽△GFB，所以＝，所以AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF.所以DF2＝GF·HF.5.(2016·大连模拟)如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．解：因为AE∥BC，D为AC的中点，所以AE＝CF，＝＝.设AE＝x，又BC＝8，所以＝，所以x＝4.所以AE＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.(1)求的值；(2)若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值．解：(1)过点D作DG∥BC，并交AF于点G，因为E是BD的中点，所以BE＝DE.又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，所以△BEF≌△DEG，则BF＝DG，所以BF∶FC＝DG∶FC.又因为D是AC的中点，则DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2，即＝.(2)若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD＝1∶2，可知h1∶h2＝1∶2，其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，则＝×＝，则S1∶S2＝1∶5.故S1∶S2的值为.7.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.(1)求证：＝；(2)若AC＝3，求AP·AD的值．解：(1)证明：因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC，所以△DPC∽△DBA，所以＝.又AB＝AC，所以＝.(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD＝∠APC.又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以＝.所以AP·AD＝AC2＝9.8.△ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，AD，EF交于点P，若BD＝DC，AE＝AF.求证：＝.证明：过F作MN∥AD交BA的延长线及DC于M，N.对△MEF，有＝，因为AE＝AF，所以＝.对△MBN，有＝，因为BD＝DC，所以＝.对△ADC，有＝，所以＝.所以＝，所以＝.
