三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.方法一公式、定理分类整合法模型解法公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点：①分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．③汇总结论，汇总分类结果，得结论．典例1设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．解析由{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1>0.当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，则有①或②由①得－11.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案(－1,0)∪(0，＋∞)思维升华公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．跟踪演练1Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比为()A.B．2C．－D．－2答案D解析设{an}的公比为q(q≠0)，由等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4，S3，S5成等差数列，得2S3＝S4＋S5.当q＝1时，S4＝4a1，S3＝3a1，S5＝5a1，此时2S3≠S4＋S5，不满足题意；当q≠1时，有＝＋，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)．方法二位置关系的分类整合法模型解法对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究．破解此类题的关键点：①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．典例2在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是()A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]解析由可得由图，可得A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．①当3≤s<4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC及其内部，此时，z＝3x＋2y在点B处取得最大值，且zmax＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤zmax<8.②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且zmax＝8.综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.答案D思维升华(1)在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究．(2)在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一网打尽”．如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论．跟踪演练2抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．答案4解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又 y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P有4个．方法三含参问题的分类整合法模型解法含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，...
