【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第五章第5讲知能训练轻松闯关1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{an}和等比数列{bn}首项都是1，公差与公比都是2，则ab1＋ab2＋ab3＋ab4＋ab5＝()A．54B．56C．58D．57解析：选D.由题意，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝1×2n－1＝2n－1，∴ab1＋…＋ab5＝a1＋a2＋a4＋a8＋a16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为()A．{4，5}B．{4，32}C．{4，5，32}D．{5，32}解析：选C.an＋1＝注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32.3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>0解析：选C.设bn＝2aa，则bn＋1＝2aa，由于{2aa}是递减数列，则bn>bn＋1，即2aa>2aa.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.4．在数列{an}中，若a1＝－2，an＋1＝an＋n·2n，则an＝()A．(n－2)·2nB．1－C.D.解析：选A.因为an＋1＝an＋n·2n，所以an＋1－an＝n·2n，所以an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝(n－1)×2n－1＋(n－2)×2n－2＋…＋2×22＋1×21(n≥2)．设Tn＝(n－1)×2n－1＋(n－2)×2n－2＋…＋2×22＋1×21(n≥2)，则2Tn＝(n－1)×2n＋(n－2)×2n－1＋(n－3)×2n－2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得Tn＝(n－2)·2n＋2(n≥2)，所以an＝(n－2)·2n＋2＋a1＝(n－2)·2n(n≥2)．又n＝1时，上式成立，所以选A.5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{an}中，0
1且a1＝.又因为＋＋…＋≤0，所以a1＋a2＋…＋an≤＋＋…＋，即≤，把a1＝代入，整理得qn≤q7，因为q>1，所以n≤7，故选C.6．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n＋1≥7，即n≥6.答案：67．在等比数列{an}中，若an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a1a2…a7a8＝(a4a5)4＝16，又an>0，∴a4a5＝2.再由基本不等式，得a4＋a5≥2＝2.∴a4＋a5的最小值为2.答案：28．设Sn是数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2b}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b＝2·4n－1＝22n－1，bn＝2n－1.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以＝4，因此数列{bn}是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.解：(1)证明：∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(2)设数列{bn}的公差为d，∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2.1∵a1>1，∴b1＝log2a1>0.∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴解得∴Sn＝4n＋×(－1)＝.∵∴∴an＝25－n(n∈N*)．10．(2014·高考浙江卷)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…·an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an与bn；(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn.解：(1)由题意知a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8.又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．故数列{bn}的通项公式为bn＝n(n＋1)(n∈N*)．(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝－(n∈N*)．②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn＝，而－＝>0，得≤<1，所以，当n≥5时，cn<0.综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.2
