中档题满分练(三)1．已知向量a＝(2sinx，－cosx)，b＝(cosx，2cosx)，f(x)＝a·b＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期，并求当x∈时f(x)的取值范围；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g＝1，a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．2.如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝1，PB＝PD＝，点E在PD上，且PE＝2ED.(1)求二面角P－AC－E的大小；(2)试在棱PC上确定一点F，使得BF∥平面AEC.3．(2015·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)，g(x)＝ax2－x＋5，其中a∈R.(1)若函数f(x)，g(x)存在相同的零点，求a的值．(2)若存在两个正整数m，n，当x0∈(m，n)时，有f(x0)<0与g(x0)<0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知点(an－1，an)(n∈N*，n≥2)在函数y＝3x的图象上，且S4＝80.(1)求数列{an}的通项公式；1(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，设数列的前n项和为Pn.①求Pn；②若16Pn＋≤成立，求n的最大正整数值．中档题满分练(三)1．解(1)f(x)＝a·b＋1＝2sinxcosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝2sin∴f(x)的最小正周期T＝＝π.当x∈时，－≤2x－≤π，sin∈，因此f(x)的取值范围是[－，2]．(2)依题意，g(x)＝f＝2sin＝2cos2x.由g＝1，得2cosA＝1，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，∴4＝42－3bc，则bc＝4，故S△ABC＝bcsinA＝×4×sin＝.2．解(1)∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝1，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2＝PB2，知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，且AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B，C，P(0，0，1)，D(0，1，0)，E.∴AC＝，AE＝.设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则即2取y＝－，则n＝(1，－，2)．同理，平面ACP的一个法向量为m＝，∴cos〈n，m〉＝＝＝，∴〈n，m〉＝60°.故二面角P－AC－E的大小为60°.(2)设PF＝λPC(0＜λ＜1)，∵PC＝，BP＝，∴BF＝BP＋PF＝BP＋λPC＝＋＝，由BF∥平面AEC，知BF⊥n，∴(λ－1)×1＋(λ＋1)×(－)＋(1－λ)×2＝0，解得λ＝.∴当点F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.3．解(1)解方程x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝0得：x＝－4，或x＝a＋5，由函数f(x)，g(x)存在相同的零点，则－4，或a＋5为方程ax2－x＋5＝0的根，将－4代入ax2－x＋5＝0：得16a＋9＝0，解得：a＝－，将a＋5代入ax2－x＋5＝0得：a3＋10a2＋24a＝0，解得：a＝－6，或a＝－4，或a＝0，综上a的值为－，或－6，或－4，或0.(2)令f(x)<0，则－4
0，即a>－5，即N＝(0，a＋5)，令g(x)<0，即ax2－x＋5<0的解集为M，则由题意得区间(m，n)⊂M∩N.①当a<0时，因为g(0)＝5>0，故只能g(a＋5)＝a[(a＋5)2－1]<0，即a>－4，或a<－6，又因为a>－5，所以－40时，因为g(0)＝5>0，所以g(a＋5)＝a[(a＋5)2－1]>0，故无解，综上，n的最大值为4，a的取值范围是－1≤a≤－.4．解(1)依题意，an＝3an－1(n∈N*，n≥2)，∴数列{an}为等比数列，且公比q＝3.又S4＝＝80，∴a1＝2.因此数列{an}的通项公式an＝2·3n－1.(2)①由(1)知，an＋1＝2·3n，依题意，dn＝＝，＝.∴Pn＝＋＋＋…＋，(*)则Pn＝＋＋…＋＋，(**)(*)－(**)，Pn＝＋－＝＋·－＝－.∴Pn＝－.②16Pn＋＝15－＋＝15－，解不等式15－≤，3n≤81，则n≤4.所以n的最大正整数为4.4
