天津市2018届高三数学上学期第一次月考试题理一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分1.已知是虚数单位，则复数2.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是3.阅读右面的程序框图，则输出的4.在的二项展开式中，的系数为5.已知，那么是的6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为7.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为8.已知函数，若方程恰有四个不同的解，则的取值范围是二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分9.设集合，，若，则实数10.设数列是首相为，公差为的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为11.直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为12.函数的最小值为13.已知棱长为的正四面体的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为14.梯形中，，点在线段上，点在线段上，且，则的最小值为三、解答题：本大题共个小题，共计分15.（本小题满分13分）设的内角所对的边分别为，且(1)求的值(2)求的值16.（本小题满分13分）一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是，张卡片上的数字是，张卡片上的数字是.从盒中任取张卡片.(1)求所取张卡片上的数字完全相同的概率(2)表示所取张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望.（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）17.（本小题满分13分）如图，，为的中点，，.(1)求证：(2)求证：(3)设为线段上一点，，试确定实数的值，使得二面角为18.（本小题满分13分）正项等比数列的前项和记为，，.(1)求数列的通项公式(2)等差数列的各项为正，且，又成等比数列，设，求数列的前项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.(1)求椭圆的方程(2)若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.20.（本小题满分14分）已知函数的最小值为，其中.(1)求的值(2)若对任意的，有成立，求实数的最小值(3)证明：天津市耀华中学2018届高三年级暑假验收考试数学参考答案（理科）一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分1.A；2.C；3.B；4.C；5.B；6.D；7.A；8.B二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分9.；10.；11.3；12.；13.；14.三、解答题：本大题共个小题，共计分15.（本小题满分13分）解：(1)由与余弦定理得，，又，解得(2)又，，与正弦定理得，，.所以16.（本小题满分13分）解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为(2)的所有可能值为1，2，3，且，，，故的分布列为：123从而17.（本小题满分13分）(1)证明：以C为原点建立空间直角坐标系，，，则，，易知为平面ABC的一个法向量，，；(2)证明：，，，，，，；(3)解：由(2)知平面BCD的法向量为，，，而，设平面QCD的法向量为，由得，，令，则，，即，故，解得，由得，.18.（本小题满分13分）解：(1)设公比为，则，得，，；(2)设的公差为，由，可设，又，，，由题意可得，解得，等差数列的各项为正，，，；，则，①，②由①-②得，，.19.（本小题满分14分）解：(1)由题设，，，解得椭圆的方程为；(2)由题设，以，为直径的圆的方程为，圆心到直线的距离为由得，①，，设，，由得，，，，，由得，，解得，满足①，∴直线的方程为.20.（本小题满分14分）解：(1)的定义域为，由，得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，为唯一的极小值，也是最小值，故由题意，所以.(2)当时，取，有，故不符合题意当时，令，即令，得，①当时，，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.②当时，，对于，故在内单调递增，因此，当取时，，即不成立.故不符合题意.(3)证明：当时，不等式左边右边，所以不等式成立，当时，在(2)中取得，，从而所以综上.
